第 91 章学习笔记：附录 B（定理 5.5 补充引理）

配套译文：内部译文（已落盘；本页锚点已按清单 §2/§6 命名并与译文 proof-link 对账）。本附录存在的唯一理由是为第 5 章主定理 Theorem 5.5（Algorithm 14 误分类比例上界）的三步证明提供技术部件。结构：B.1 Mean-field Solution of the Secular Equation (5.19)（B.1.1 扰动秩-2 矩阵的谱研究 → B.1.2 γ̄ 的估计 → B.1.3 γ 的集中），B.2 Mean-field Solution of the Constrained Linear System (5.17)。编号对象 8 个（B.x 共享计数器，Lemma/Proposition/Corollary 交错）、编号公式 (B.1)–(B.3)、0 图 0 表、无 Further Notes、无习题。全部被 Ch5 引用的结论共四个：Corollary B.2、Lemma B.3、Proposition B.2、Corollary B.5。

项目修订说明E3/E9 的最终处理边界

本页同时保留“原书写了什么”和“项目认证什么”两层。原书 Proposition B.2 的精确常数证明不能认证：E3 的谱隙下界错误，E9 的首个不等式方向错误。项目采取以下修复。 **E3：以真实谱隙取代错误的 $\bar\alpha+\lambda$。** 令 $$g:=\bar\delta_1-\bar\gamma_*>0.$$ 平均场久期方程给出 $$n=\sum_i\frac{\bar b_i^2}{(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^2}\ge\frac{\bar b_1^2}{g^2},$$ 所以，令 $\rho:=\eta_0+\eta_1<1$，有 $$g\ge\frac{|\bar b_1|}{\sqrt n} \ge\frac{\lambda\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)(1-\rho)}{\lambda+\bar\alpha(1-\rho)},\qquad \|\bar L^{-1}\|=\frac1g\le \frac{\lambda+\bar\alpha(1-\rho)}{\lambda\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)(1-\rho)}.\tag{B.4-project}$$ 第一步只用久期方程；第二步使用 Lemma B.4 对 $\bar b_1$ 的无隐藏条件版本。若 $\rho\le\tfrac12$，可进一步简化为 $g\ge\lambda\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)/(2(\lambda+\bar\alpha))$。这个简式不能脱离 $\rho\le\tfrac12$ 使用。它是 Ch5 [谱隙显式修订定理](05-semi-supervised-learning.html#corrected-theorem-5-5-gap)的条件数输入。 **E9：采用正式论文的独立引理。** Avrachenkov 与 Dreveton 的正式发表版本新增 Lemma B.7。若 $\mathcal I=\{i:\bar b_i\ne0\}$，则 $$ \frac{\sum_{i\in\mathcal I}|\bar b_i|}{\sum_{i\in\mathcal I}\bar b_i^2} \le \frac{2}{\sqrt n(\eta_1-\eta_0)}\frac{\lambda+\bar\alpha}{\bar\alpha\lambda} \left(1+\frac{2\eta_0n\sqrt{\eta_1+\eta_0}}{\lambda}\right). \tag{B.5-project} $$ 正式论文同时在 Theorem 3.1 增加 $\eta_0n\sqrt{\eta_1+\eta_0}\ll\lambda$；在该条件下括号项可由常数控制。因此 E9 不再依赖错误的 $\ell_1/\ell_2$ 不等式链。来源：Avrachenkov and Dreveton, “Almost exact recovery in noisy semi-supervised learning,” *Probability in the Engineering and Informational Sciences* 39 (2025), DOI [10.1017/S0269964824000135](https://doi.org/10.1017/S0269964824000135)，Appendix B, Lemma B.7。 **边界**：正式论文仍保留 E3 的错误下界及相应逆范数界，所以 Lemma B.7 只关闭 E9，不能使原 Proposition B.2 或 Theorem 5.5 的精确闭式常数自动成立。本项目认证 (B.4-project)、(B.5-project) 及 Ch5 的谱隙显式定理，不认证原书/论文的 E3 常数链。

1. 一句话定位

本附录回答"Theorem 5.5 的证明依赖什么、哪些依赖有效"——Ch5 把 Algorithm 14 的分析归约为四个技术结论：B.1.1 用矩阵行列式引理把"对角扰动 + 秩-2 均值矩阵"的特征多项式完全因式分解（Prop B.1），读出 DC-SBM 期望算子 $\mathbb E\tilde{\mathcal L}$ 的显式谱（Corollary B.2，Thm 5.5 第 (i) 步的条件数入口）；B.1.2 定位平均场久期方程解 $\bar\gamma_*$ 的区间（Lemma B.3，但不能推出源文 (5.22)）；B.1.3 是随机根集中链的源文证明审计（Proposition B.2，E3 仍使其精确结论无法认证，E9 仅在正式论文新增条件下关闭）；B.2 显式解出平均场约束线性系统（Prop B.3）并给出符号恢复判据（Corollary B.5，Thm 5.5 第 (ii) 步的有效输入）。

2. 本章导读

开篇定位（印刷页 198）：附录标题 "Additional Lemmas Related to the Proof of Theorem 5.5" 即明示全篇即定理 5.5 证明的技术补充（无独立导引段，标题后直接进入 B.1 节）——读法上应把每个引理对照它在主证明中的插槽来学（见 §4 主线与 §9 卡片的"用途"列）。
B.1.1 扰动秩-2 矩阵的谱研究（印刷页 198–200）：纯代数底座。Lemma B.1 复述矩阵行列式引理（matrix determinant lemma）并给 Schur 补短证；Prop B.1 用它把 $\det(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}-M)$（$M=ZBZ^{\top}$ 秩 2、$P_{\mathcal L}$ 标注示性对角阵）归结为 $2\times2$ 行列式并完全因式分解：重根 $0$（$n-m-2$ 重）、$-\lambda$（$m-2$ 重）加四个显式根 $t_1^{\pm},t_2^{\pm}$（式 (B.1)(B.2)）；Corollary B.2 代入 DC-SBM 参数 $a=p_{\mathrm{in}}-\tau$、$b=p_{\mathrm{out}}-\tau$、$m=n(\eta_0+\eta_1)$，得到 $\mathbb E\tilde{\mathcal L}$ 的完整谱。
B.1.2 γ̄* 的估计（印刷页 200–201）：Lemma B.3 用"两端极限 + 单调性"定位 $\bar\gamma_*$：$\lambda=0$ 退化为特征值问题（$\bar\gamma_*(0)=-\bar\alpha$）、$\lambda=\infty$ 退化为硬约束极限系统（$\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$，原书 "verify by hand"，本页 §11 补验算），中间由 cost function 比较给出单调性。注意：Lemma B.3 的印刷不等式方向颠倒（校勘 E1，见 §14 第 1 条）。
B.1.3 γ* 的集中（印刷页 201–204）：Proposition B.2 是全附录技术高峰：对久期方程 (5.19) 做参数隐函数微分，把 $|\gamma_*-\bar\gamma_*|$ 分解为特征值扰动（Weyl + Feige–Ofek 浓度）与特征向量扰动（Cauchy–Schwarz + Davis–Kahan），辅以 Lemma B.4。注意：源证明的 E3/E9 均为确定性错误；项目以 E3/E9 修订说明取代其下游用法。
B.2 平均场约束线性系统的显式解（印刷页 204–206）：Prop B.3 利用三类节点（未标注/标对/标错）上的对称性把 $n$ 维系统压成三元方程组，显式解出 $\bar x_i$（分情形）；Corollary B.5 用 Lemma B.3 控制标量 $B,C$ 的符号与大小，给出 $\mathrm{sign}(\bar x_i)=\mathrm{sign}(Z_i)$ 的三情形判据——这是 Thm 5.5 第 (ii) 步的全部内容，也是全附录的终点。注意：Prop B.3 的标量 $B$ 印刷多一个 $\bar\alpha$ 因子（校勘 E7）。

3. 本页使用方式

按你在正文中最可能卡住的位置直接跳转：

这四个引理在 Theorem 5.5 里各自插在哪一步？ → §4 主线表第"后续用途"列 + §9 各卡片的"用途"；反向视角（从 Thm 5.5 看过来）见第 5 章笔记的 App B 依赖定位卡。
$t_1^{\pm}$ 和 $t_2^{\pm}$ 谁是谁？为什么最小特征值是 $\bar\delta_1=-t_2^{+}$？ → $t_1$ 族来自密度通道 $\bar d_\tau$（$a+b$）、$t_2$ 族来自信号通道 $\bar\alpha$（$a-b$）；$\tau>p_{\mathrm{out}}$ 时 $\bar d_\tau<\bar\alpha$ 故 $-t_2^{+}$ 最小。辨析见 §14 易混点第 2 条，谱全景见 proof-corollary-b-2。
Lemma B.3 的不等式方向好像印反了？ → 你读得没错：印刷版 $-\bar\alpha(1-2\eta_0)\le\bar\gamma_*\le-\bar\alpha$ 在 $\eta_0>0$ 时是空区间；正确方向是 $-\bar\alpha\le\bar\gamma_*\le-\bar\alpha(1-2\eta_0)$（其自身证明与 Corollary B.5 的引用都是这个方向）。校勘 E1，见 §14 第 1 条。
"verify by hand that $\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$" 到底验算什么？ → 一行代入：$\tau$ 项因块平衡消去，$(\mathbb EA_\tau\bar x)_i=\bar\alpha(1-\eta_0-\eta_1)Z_i$、右端 $=\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)Z_i$。完整验算见 §11 补证卡。
Prop B.2 的证明里 "min$_i|\bar\delta_i-\bar\gamma_*|\ge\bar\alpha+\lambda$" 推不出来？ → 该式已判定为错误。有效替代是 (B.4-project) 的一般下界；当 $\eta_0+\eta_1\le\tfrac12$ 时才可使用其 $g\ge\lambda\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)/(2(\lambda+\bar\alpha))$ 简式。见 E3/E9 修订说明与 proof-proposition-b-2 校勘提示 (b)。
Prop B.3 的 $B$ 和 Corollary B.5 的 $B$ 界对不上？ → 印刷版 $B$ 多一个 $\bar\alpha$ 因子；自洽读法 $B=\bar\gamma_*/(\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*(\lambda-\bar\alpha-\bar\gamma_*))$，且 Cor B.5 实际只用到下界。校勘 E7，见 proof-proposition-b-3 与 proof-corollary-b-5。
Corollary B.2 的谱列表末尾为什么有个 "0"？ → 由 Prop B.1 的因式分解、证明所列根与重数计数可确定这是排印赘余：$n$ 个特征值已由 $-\gamma-t_1^{\pm}$、$-\gamma-t_2^{\pm}$、$-\gamma$（$n-m-2$ 重）和 $-\gamma+\lambda$（$m-2$ 重）计满。校正读法是删去列表末尾的 $0$；源列表仍在译文中保留，见 proof-corollary-b-2 校勘提示。
OCR 里 $\rho_{\mathrm{in}}$、$\phi_{\mathrm{out}}$、$\binom{a}{b}$ 是什么？ → 全是 OCR 误读：斜体 $p_{\mathrm{in}}$、$p_{\mathrm{out}}$（与 Ch5 的 p/ρ 盯防一致），以及 $2\times2$ 矩阵 $B=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&a\end{smallmatrix}\big)$。汇总见 §14 第 7 条。

4. 本章主线

推进层	要解决的问题	关键转折	后续用途（在 Thm 5.5 中的插槽）
B.1.1 代数底座（Lemma B.1 → Prop B.1 → Cor B.2）	"对角扰动 + 秩-2 均值矩阵"的谱能否显式写出？	矩阵行列式引理把 $n$ 维行列式压成 $2\times2$；$B=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&a\end{smallmatrix}\big)$ 的特征值 $a\pm b$ 分裂出密度通道 $t_1^{\pm}$ 与信号通道 $t_2^{\pm}$	Thm 5.5 第 (i) 步：$\\|(\mathbb E\tilde{\mathcal L})^{-1}\\|=1/(-t_2^{+}-\bar\gamma_*)$，条件数问题化为谱隙问题；也是 Lemma B.4、Prop B.2 中 $\bar\delta_i$ 显式值的来源
B.1.2 γ̄* 的估计（Lemma B.3）	平均场久期方程的解落在什么区间？	两端极限（$\lambda=0$ 特征值问题、$\lambda=\infty$ 硬约束）+ cost function 单调性	Thm 5.5 第 (i) 步：谱隙下界 (5.22)；Cor B.5：标量 $B,C$ 符号控制的依据（校勘 E1：印刷方向颠倒）
B.1.3 γ* 的集中（Prop B.2 + Lemma B.4）	随机根 $\gamma_$ 离 $\bar\gamma_$ 多远？	源文用隐函数微分、Weyl 与 Davis–Kahan；项目判定 E3 失效，E9 采用正式论文 Lemma B.7	原书把它用于 $\|\gamma_-\bar\gamma_\|$；项目修订版改为显式保留 $H$，不认证原精确前因子
B.2 平均场显式解与符号判据（Prop B.3 → Cor B.5）	平均场解 $\bar x$ 长什么样？它的符号是否给出正确标签？	三类节点对称性把 $n$ 维系统压成三元方程组；$\tau>p_{\mathrm{out}}$ 保证分母符号，Lemma B.3 控制 $B,C$	Thm 5.5 第 (ii) 步：$\mathrm{sign}(\bar x_i)=\mathrm{sign}(Z_i)$（未标注恒成立；标错节点在 $\lambda<(1-2\eta_0)\bar\alpha\frac{\eta_1-\eta_0}{\eta_1+\eta_0}$ 下也被纠正）→ $\beta$-bad 论证的锚点

5. 本章学习路线 / 概念地图

因果结构读法：主证明需要"条件数 × 扰动"两块砖——条件数来自平均场谱（B.1.1–B.1.2），扰动来自随机根集中（B.1.3）；再用"平均场解符号正确"（B.2）把扰动界翻译成误分类计数。

① 谱底座（B.1.1）
Lemma B.1（行列式引理）→ Prop B.1（$\det$ 完全分解 (B.1)(B.2)）→ Cor B.2（$\mathbb E\tilde{\mathcal L}$ 显式谱）
$t_1^{\pm}$：密度通道 $\bar d_\tau$ · $t_2^{\pm}$：信号通道 $\bar\alpha$ · $\bar\delta_1=-t_2^{+}$

→

② 平均场根定位（B.1.2）
Lemma B.3：$-\bar\alpha\le\bar\gamma_*\le-\bar\alpha(1-2\eta_0)$（修正向）
$\lambda=0$/$\infty$ 两端极限 + $C_\lambda$ 单调性；校勘 E1

→

③ 随机根集中（B.1.3）
Prop B.2：源文声称 $|\gamma_*-\bar\gamma_*|=O(\sqrt{\bar d}\,)$ 级
源文链含 E3/E9；项目使用有效谱隙下界与正式论文 Lemma B.7，根扰动保留为 $H$

④ 平均场显式解（B.2）
Prop B.3：$\bar x_i$ 三情形显式解（$x_0,x_t,x_f$ 三元方程组）→ Cor B.5：$\mathrm{sign}(\bar x_i)=\mathrm{sign}(Z_i)$
$\tau>p_{\mathrm{out}}$ 定分母符号；校勘 E7（标量 $B$ 的 $\bar\alpha$ 因子）

→

⑤ 汇入主定理（Ch5 §5.4.3）
第 (i) 步 (5.22)(5.23) = Cor B.2 + Lemma B.3 + Prop B.2 · 第 (ii) 步 = Cor B.5 · 第 (iii) 步 $\beta$-bad 计数
⇒ Thm 5.5 误分类上界 ⇒ Cor 5.6/5.7 分级

附录内部依赖链：Lemma B.1 → Prop B.1 → Cor B.2 →（Lemma B.4、Prop B.2 的 $\bar\delta$ 值、Prop B.3 的 $\mathbb EA_\tau$ 结构）；Lemma B.3 →（Prop B.2 的隙界、Cor B.5 的 $B,C$ 控制）；Lemma B.4 → Prop B.2（$\bar b_1$ 下界与 $\mathcal I$ 的刻画）；Prop B.3 + Lemma B.3 → Cor B.5。

6. 分层阅读路线

第一遍（主线，约 40 分钟）：只读四个被 Ch5 引用的结论的陈述：Cor B.2（谱长什么样）、Lemma B.3（$\bar\gamma_*$ 在哪个区间，注意校勘 E1）、Prop B.2（$|\gamma_*-\bar\gamma_*|$ 的界）、Cor B.5（三情形符号判据）；配 §4 主线表与第 5 章笔记 App B 定位卡，说清每个结论插在 Thm 5.5 哪一步。目标：不看证明也能复述"条件数 ← Cor B.2+Lemma B.3；扰动 ← Prop B.2；符号 ← Cor B.5"。
第二遍（证明精读，约 2.5 小时）：按依赖序读五组：① Lemma B.1 + Prop B.1（行列式引理 → $2\times2$ 化，代数本体，全程可验证）；② Cor B.2（参数代入 + 谱排序，注意末尾 "0" 已由重数计数确定为排印赘余）；③ Lemma B.3 + §11 手验卡（两端极限 + 单调性，校勘 E1 是本章最好的"自己发现印刷错误"训练）；④ Lemma B.4（谱结构的第一次实战：对称设参 → 二元方程组 → $\bar b_1$ 下界；校勘 E5/E6）；⑤ Prop B.2（技术高峰：隐函数微分 + Davis–Kahan，对照校勘 E3/E9 批判性阅读）；⑥ Prop B.3 + Cor B.5（对称消元与符号判据，校勘 E7）。
第三遍（应用与批判性回看）：对照 Thm 5.5 源文审计与谱隙显式修订版，自行推出 (B.4-project)；再核对正式论文 Lemma B.7 的新增条件与 Cor B.5 第三情形阈值。
专题回看：学 Ch4 Thm 4.8/4.9 时对照本附录的"平均场 + 浓度 + 扰动"范式（Ch4 笔记）；学随机矩阵（Ch5 Further Notes 第 2 段 Mai & Couillet 路线）时把 Prop B.2 作为"久期方程根集中"的样本案例；Davis–Kahan 的系统处理见 Yu et al., 2015（§16）。

7. 初学者背景补充

本附录默认的数学背景集中在六处，按首次出现顺序：

矩阵行列式引理与 Schur 补（Lemma B.1）：$\det(A+UV^{\top})=\det A\,\det(I_m+V^{\top}A^{-1}U)$；证明只需对分块矩阵 $\left(\begin{smallmatrix}A&-U\\V^{\top}&I\end{smallmatrix}\right)$ 做两种次序的三角分解并比较行列式（Schur 补公式，Horn & Johnson, 2012 §0.8.5）。它的用途是把"低秩更新"的行列式降到低维：本附录 $m=2$，$n$ 维问题压成 $2\times2$。已入术语表。
秩-2 结构与两通道分解（Prop B.1）：2 块对称模型的期望邻接矩阵 $\mathbb EA=ZBZ^{\top}$ 秩为 2；$B=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&a\end{smallmatrix}\big)$ 的特征值 $a+b$（全一方向，密度通道）与 $a-b$（符号方向，信号通道）分别给出 $t_1^{\pm}$、$t_2^{\pm}$。这就是为什么 DC-SBM 的一切谱量都只用 $\bar d_\tau$ 与 $\bar\alpha$ 两个标量表达。已入术语表；DC-SBM 定义见术语表与第 2 章笔记。
久期方程的根几何（B.1.2/B.1.3）： secular equation（显式久期方程，译名与 Ch5 一致）$\sum_i(b_i/(\delta_i-\gamma))^2=n$ 的左端在 $(-\infty,\delta_1)$ 上从 $0$ 单调升到 $+\infty$，恰有一根 $\gamma_*<\delta_1$；Ch5 已证明最小 $\gamma$ 对应最小 cost（deriv-ssl-map-relaxation 第 4 步，Gander et al., 1989 只引用）。主项估计：根到 $\delta_1$ 的隙 $\approx|b_1|/\sqrt n$（主导项 $b_1^2/(\delta_1-\gamma)^2\approx n$）——这是校勘 E3 的核心论据。
特征值扰动（Weyl）与邻接矩阵浓度（Feige–Ofek）：对称矩阵扰动下 $|\delta_i-\bar\delta_i|\le\|A-\mathbb EA\|$（Weyl 不等式）；DC-SBM 在 $\bar d=\Omega(\log n)$ 时 $\|A-\mathbb EA\|=O(\sqrt{\bar d}\,)$（Feige & Ofek, 2005；稀疏区预处理见 Ch5 笔记定位卡）。这套语言与 Ch4 Thm 4.8/4.9 同源。
Davis–Kahan 特征向量扰动（Prop B.2）：Yu et al., 2015 的 $\sin\Theta$ 形式：$\|Q_{\cdot i}-\bar Q_{\cdot i}\|_2\le 2^{3/2}\|A-\mathbb EA\|/\min\{\bar\delta_i-\bar\delta_{i-1},\bar\delta_{i+1}-\bar\delta_i\}$——分母是特征值隙，所以本附录要花大力气给隙定界（这也正是校勘 E3/E4 所在处）。
平均场语言：平均场模型 = 把随机量换成期望后的确定性模型（$\mathbb EA_\tau$、$\bar s=\mathbb Es$、$\bar\gamma_*$、$\bar x$）；块结构平衡（每块各 $n/2$，标注节点按 $\eta_0,\eta_1$ 均分到两块）使 $\tau1_n1_n^{\top}$ 项在对称向量上作用为零——B.1.2 手验与 B.2 全部显式计算都靠这一点。与 Ch5 笔记 §7 第 5 条同源。

8. 核心对象与符号表

符号	含义	本章出处	在后续推导中的角色
$M=ZBZ^{\top}$，$B=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&a\end{smallmatrix}\big)$	秩-2 均值矩阵及其 $2\times2$ 核（OCR 误作 `\binom`，已按文本层订正）	Prop B.1	$B$ 的特征值 $a\pm b$ 分裂出 $t_1$/$t_2$ 两族；DC-SBM 代入 $a=p_{\mathrm{in}}-\tau$、$b=p_{\mathrm{out}}-\tau$
$Z=\big(\begin{smallmatrix}1_{n/2}&0_{n/2}\\0_{n/2}&1_{n/2}\end{smallmatrix}\big)$	两块 membership 指示矩阵	Prop B.1	$Z^{\top}Z=\frac n2I_2$、$Z^{\top}P_{\mathcal L}Z=\frac m2I_2$ 是 $2\times2$ 化的关键
$P_{\mathcal L}$（Ch5 记 $\mathcal P$），$m$	标注节点示性对角阵；$m$ = 标注数（平均场下 $m=n(\eta_0+\eta_1)$）	Prop B.1 / Cor B.2	重根 $-\lambda$ 的重数 $m-2$ 与判别式中 $(\eta_0+\eta_1)$ 因子的来源
$t_1^{\pm}$，$t_2^{\pm}$	四个显式根：密度通道（$\bar d_\tau$）与信号通道（$\bar\alpha$）	Prop B.1 / Cor B.2	$\bar\delta_1=-t_2^{+}$（最小特征值）是谱隙与 Thm 5.5 条件数的主角；辨析见 §14 第 2 条
$\bar d_\tau=\frac n2(p_{\mathrm{in}}+p_{\mathrm{out}})-n\tau$，$\bar\alpha=\frac n2(p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}})$	削峰后的密度尺度与信号强度	Cor B.2	$\tau>p_{\mathrm{out}}\Rightarrow\bar d_\tau<\bar\alpha$（谱排序的关键）；勿与 $\bar d$ 混淆（§14 第 3 条）
$\mathbb E\tilde{\mathcal L}=-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P-\gamma I_n$	平均场下的系统矩阵	Cor B.2	Thm 5.5 第 (i) 步条件数 $\\|(\mathbb E\tilde{\mathcal L})^{-1}\\|$ 的对象
$\gamma_$，$\bar\gamma_$	随机 / 平均场久期方程 (5.19) 的最小根	B.1.2/B.1.3	$\|\gamma_-\bar\gamma_\|$ 是 Prop B.2 的控制目标；勿与 Ch4 模块度分辨率参数 $\gamma$ 混淆
$\bar\delta_i$，$\bar Q$，$\bar b=\lambda\bar Q^{\top}\bar s$	$-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P$ 的特征值 / 特征向量 / 投影坐标	Lemma B.4 / Prop B.2	久期方程的参数化；$\bar b_1$ 下界（Lemma B.4）是 Prop B.2 收尾的关键
$C_\lambda(x)=-x^{\top}\mathbb EA_\tau x+\lambda(\bar s-\mathcal Px)^{\top}(\bar s-\mathcal Px)$	平均场 cost function（Ch5 式 (5.14) 的平均场版）	Lemma B.3	单调性论证的载体：$\lambda\mapsto C_\lambda(x)$ 递增 ⇒ $\bar\gamma_*(\lambda)$ 单调
$\bar x$；$x_0,x_t,x_f$	平均场约束系统 (5.18) 的解；三类节点取值	Prop B.3	Cor B.5 的符号判据对象；Thm 5.5 第 (ii)(iii) 步的参照物
标量 $B$，$C$（Prop B.3）	$B=\bar\gamma_/(\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_(\lambda-\bar\alpha-\bar\gamma_))$（校勘 E7：印刷多一个 $\bar\alpha$），$C=\lambda/(\lambda-\bar\gamma_)$	Prop B.3 / Cor B.5	符号判据的全部技术内容：$C\ge0$、$B\ge(1-2\eta_0)/(\lambda(\eta_0+\eta_1))$
$\eta_0,\eta_1$，$q:=\eta_0+\eta_1$	oracle 标错 / 标对概率（式 (5.11)）	全章	$q$ = 标注率；$\eta_1-\eta_0$ 是 Assumption 5.1 的定量化，进入 $\bar b_1$ 下界与 Cor B.5 阈值
$Z_i\in\{\pm1\}$，$s_i$，$\bar s$	真实标签、oracle、平均场 oracle（$\bar s_i=\pm Z_i$ 于标注点，$0$ 于未标注点）	全章	符号判据 $\mathrm{sign}(\bar x_i)=\mathrm{sign}(Z_i)$ 的两端

9. 关键定理卡片

编号提醒：B.x 共享计数器（B.1–B.5 连续无跳号），Lemma/Proposition/Corollary 类型交错——不存在 "Lemma B.2/B.5" 或 "Proposition B.4"，不是 OCR 吞并。

卡片 B1：Lemma B.1（矩阵行列式引理）

条件：$A\in\mathbb R^{n\times n}$ 可逆，$U,V$ 为 $n\times m$ 矩阵。
结论：$\det(A+UV^{\top})=\det A\,\det(I_m+V^{\top}A^{-1}U)$。
用途：Prop B.1 的代数入口——把 $n$ 维行列式 $\det(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}-M)$ 归结为 $2\times2$ 行列式（秩-2 扰动的标准处理）；已入术语表。
证明入口：proof-lemma-b-1（Schur 补短证，原书给全）。

卡片 B2：Proposition B.1（扰动秩-2 矩阵行列式的完全分解）

条件：$M=ZBZ^{\top}$（$B=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&a\end{smallmatrix}\big)$），$P_{\mathcal L}$ 为前 $m/2$ + 后 $m/2$ 个对角元为 1 的对角阵（$m$ 偶）。
结论：$\det(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}-M)=t^{\,n-m-2}(t+\lambda)^{m-2}(t-t_1^{+})(t-t_1^{-})(t-t_2^{+})(t-t_2^{-})$，$t_1^{\pm},t_2^{\pm}$ 显式（分别由 $\frac n2(a+b)$、$\frac n2(a-b)$ 与 $\lambda,m$ 给出）。
用途：Cor B.2 的母体；重根结构（$0$ 与 $-\lambda$ 的重数）直接给出 Lemma B.4 中 $|I_0|$ 的计数。
证明入口：proof-proposition-b-1。

卡片 B3：Corollary B.2（$\mathbb E\tilde{\mathcal L}$ 的谱，Thm 5.5 依赖之一）

条件：DC-SBM（$p_{\mathrm{in}}>p_{\mathrm{out}}>0$）+ oracle $s$；$\lambda,\tau>0$；$\bar d_\tau,\bar\alpha$ 如上。
结论：$\mathbb E\tilde{\mathcal L}$ 的谱为 $\{-\gamma-t_1^{\pm};\,-\gamma-t_2^{\pm};\,-\gamma;\,-\gamma+\lambda\}$（原书列表末尾多一个 "0"，由重数计数确定为排印赘余，校勘 E2 已关闭），$t_1^{\pm}=\frac12\big(\bar d_\tau-\lambda\pm\sqrt{(\lambda+\bar d_\tau)^2-4\bar d_\tau\lambda(\eta_1+\eta_0)}\big)$，$t_2^{\pm}$ 同形换 $\bar\alpha$。
用途：Thm 5.5 第 (i) 步：$\|(\mathbb E\tilde{\mathcal L})^{-1}\|=1/(-t_2^{+}-\bar\gamma_*)$；Lemma B.4（$\bar\delta_1=-t_2^{+}$、$|I_0|=n(1-\eta_1-\eta_0)-2$）与 Prop B.2（$\bar\delta_n=\lambda$、特征值隙）反复引用。
证明入口：proof-corollary-b-2。

卡片 B4：Lemma B.3（$\bar\gamma_*$ 的区间，Thm 5.5 依赖之二）

条件：$\bar\gamma_*$ 为平均场模型下式 (5.19) 的解（即 (5.17) 的最小 $\gamma$ 解）。
结论：$-\bar\alpha\le\bar\gamma_*\le-\bar\alpha(1-2\eta_0)$（校勘 E1：原书印刷为 $-\bar\alpha(1-2\eta_0)\le\bar\gamma_*\le-\bar\alpha$，$\eta_0>0$ 时是空区间，方向颠倒；其自身证明 $\bar\gamma_*(0)=-\bar\alpha\le\bar\gamma_*(\lambda)\le\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$ 与 Cor B.5 的引用均为修正向）。
用途：原书用它声称 (5.22)，但 E3 说明该逆范数界不成立；项目只保留 Lemma B.3 的根区间，并用 (B.4-project) 控制逆范数。它仍是 Cor B.5 中标量 $B,C$ 符号分析的输入。
证明入口：proof-lemma-b-3；$\lambda=\infty$ 端的手验见 §11 补证卡。

卡片 B5：Proposition B.2（$\gamma_*$ 的集中，Thm 5.5 依赖之三）

条件：$\gamma_*$、$\bar\gamma_*$ 分别为 DC-SBM 与平均场 DC-SBM 上式 (5.17) 的解。
源文声称：$|\gamma_*-\bar\gamma_*|\le\Big(1+\dfrac{27(\bar\alpha+\lambda)^3}{\sqrt2\,\sqrt{\eta_1+\eta_0}\,(\eta_1-\eta_0)\,\bar\alpha^2\lambda}\Big)\sqrt{\bar d}$；项目不认证该精确界。
用途：Thm 5.5 第 (i) 步：$\|\tilde{\mathcal L}-\mathbb E\tilde{\mathcal L}\|\le|\gamma_*-\bar\gamma_*|+\|A-\mathbb EA\|$ 的第一项；上界中 $\eta$ 因子与 $(\bar\alpha+\lambda)^3$ 幂次的来源。
注意：源证明有两处确定性错误。E3 由 (B.4-project) 取代；E9 由正式论文 Lemma B.7 在新增条件下取代。原 Proposition B.2 的精确常数不认证。
证明入口：proof-proposition-b-2。

卡片 B6：Lemma B.4（$\bar b_1$ 的下界与 $\bar b_i=0$ 判据）

条件：$-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P=\bar Q\bar\Delta\bar Q^{\top}$（文本层误作 $\bar 1$，按 OCR $\bar\Delta$ 订正），$\bar b=\lambda\bar Q^{\top}\bar s$。
结论：令 $\rho=\eta_0+\eta_1<1$，则 $\bar b_1/\sqrt n\ge\lambda\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)(1-\rho)/(\lambda+\bar\alpha(1-\rho))$；若 $\rho\le\tfrac12$，再得到原书使用的简式 $\bar b_1\ge\sqrt n\,\dfrac{\lambda(\eta_1-\eta_0)}{2}\dfrac{\bar\alpha}{\lambda+\bar\alpha}$。且 $\bar b_i=0$ 当 $\bar\delta_i=0$ 或 $\bar\delta_i=-t_1^{-}$。
用途：Prop B.2 收尾的两次调用（$\Sigma\bar b_i^2$ 下界与 $\mathcal I=\{i:\bar b_i\ne0\}$ 的刻画）；其证明是 B.1.1 谱结构的第一次实战（对称设参 $\nu_1,\nu_0$）。
证明入口：proof-lemma-b-4（含校勘 E5/E6/E8 与一般下界）。

卡片 B7：Proposition B.3（平均场约束线性系统的显式解）

条件：$\tau>p_{\mathrm{out}}$。
结论：式 (5.18) 在平均场 DC-SBM 上的解 $\bar x$ 分三情形显式给出（标错 / 标对 / 未标注），由标量 $B,C$ 参数化（$C=\lambda/(\lambda-\bar\gamma_*)$；$B$ 按校勘 E7 的修正形 $=\bar\gamma_*/(\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*(\lambda-\bar\alpha-\bar\gamma_*))$）。
用途：Cor B.5 的全部输入；"平均场可解"的正面含义——$\mathbb EA$ 只有两个非零特征值时，约束系统可以按三类节点对称性显式求解。
证明入口：proof-proposition-b-3。

卡片 B8：Corollary B.5（符号判据，Thm 5.5 依赖之四）

条件：$\tau>p_{\mathrm{out}}$。
结论：$\mathrm{sign}(\bar x_i)=\mathrm{sign}(Z_i)$ 当 (i) $i$ 未被 oracle 标注；(ii) $i$ 被标对；(iii) $i$ 被标错且 $\lambda<(1-2\eta_0)\bar\alpha\dfrac{\eta_1-\eta_0}{\eta_1+\eta_0}$。
用途：Thm 5.5 第 (ii) 步的全部内容——判决规则 (5.16) 下平均场解在未标注节点上恒给出正确标签，"误分类"由此归约为 $|\widehat X_i-\bar x_i|$ 的大小（$\beta$-bad 论证的锚点）；情形 (iii) 同时给出"标错的节点也能被平滑纠错"的理论阈值（与 Ch5 图 5.8 的实验现象呼应）。
证明入口：proof-corollary-b-5（含校勘 E7 的 $B$ 界辨析）。

10. 关键定理完整证明

原书对全部 8 个编号对象给出证明（附录体例即证明集）。可闭合者按“证明目标 + 依赖工具 + 证明思路 + 完整证明 + 闭合检查”呈现；Proposition B.2 因 E3/E9 改标为源文证明审计。原书链仍逐步保留以便追溯，项目认证的替代结论集中在 E3/E9 修订说明。

完整证明Lemma B.1（矩阵行列式引理）

状态：完整证明已按当前笔记标准给出闭合推导。

**证明目标**：$A\in\mathbb R^{n\times n}$ 可逆，$U,V$ 为 $n\times m$ 矩阵，则 $\det(A+UV^{\top})=\det A\,\det(I_m+V^{\top}A^{-1}U)$。 **依赖工具**：分块矩阵三角分解；Schur 补行列式公式（Horn & Johnson, 2012, §0.8.5）。 **证明思路**：对同一个 $2\times2$ 分块矩阵按两种次序取行列式：一种分解读出 $\det A\cdot\det(I+V^{\top}A^{-1}U)$，另一种（Schur 补）读出 $\det(A+UV^{\top})$，比较即得。 **完整证明**： 1. **三角分解**：直接验证 $$\begin{pmatrix}A&-U\\ V^{\top}&I\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\ V^{\top}&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&-A^{-1}U\\ 0&I+V^{\top}A^{-1}U\end{pmatrix}.$$ 两端取行列式（分块三角阵的行列式 = 对角块行列式之积）： $$\det\begin{pmatrix}A&-U\\ V^{\top}&I\end{pmatrix}=\det A\,\det\big(I_m+V^{\top}A^{-1}U\big).$$ 2. **Schur 补一侧**：对同一矩阵以 $I$ 为主块用 Schur 补公式， $$\det\begin{pmatrix}A&-U\\ V^{\top}&I\end{pmatrix}=\det I\,\det\big(A-(-U)I^{-1}V^{\top}\big)=\det(A+UV^{\top}).$$ 3. **比较**：两式相等即所证。$\square$ **闭合检查**：条件只用了 $A$ 可逆（分解中的 $A^{-1}$）；$m\le n$ 不必需。本附录取 $m=2$：$U=-ZB$、$V=Z$（Prop B.1 第 1 步），$n$ 维行列式由此降为 $2\times2$。∎

完整证明Proposition B.1（$\det(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}-M)$ 的完全因式分解，式 (B.1)(B.2)）

状态：完整证明已按当前笔记标准给出闭合推导。

**证明目标**：设 $M=ZBZ^{\top}$，$B=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&a\end{smallmatrix}\big)$（OCR 把 $B$ 误排为 `\binom` 并丢失元素，已按文本层订正），$Z=\big(\begin{smallmatrix}1_{n/2}&0_{n/2}\\0_{n/2}&1_{n/2}\end{smallmatrix}\big)$，$P_{\mathcal L}$ 为前 $m/2$ 与后 $m/2$ 个对角元为 1、其余为 0 的 $n\times n$ 对角阵（$m$ 偶）。则 $$\det\big(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}-M\big)=t^{\,n-m-2}(t+\lambda)^{m-2}(t-t_1^{+})(t-t_1^{-})(t-t_2^{+})(t-t_2^{-}),$$ 其中 $$t_1^{\pm}=\frac12\Big(\frac n2(a+b)-\lambda\pm\sqrt{\big(\lambda+\frac n2(a+b)\big)^2-2(a+b)\lambda m}\Big),\quad t_2^{\pm}=\frac12\Big(\frac n2(a-b)-\lambda\pm\sqrt{\big(\lambda+\frac n2(a-b)\big)^2-2(a-b)\lambda m}\Big).$$ **依赖工具**：Lemma B.1（矩阵行列式引理）；$B$ 的特征值 $a+b$、$a-b$；多项式连续延拓（原书引 Avrachenkov et al., 2013a）。 **证明思路**：三步降维。① 行列式引理把 $n\times n$ 行列式写成"对角部分行列式 $\times$ $2\times2$ 行列式"（式 (B.1)）；② 用 $Z^{\top}Z=\frac n2I_2$、$Z^{\top}P_{\mathcal L}Z=\frac m2I_2$ 把 $2\times2$ 部分算成标量 $x$ 乘 $B$ 的形式，$B$ 的两个特征值 $a\pm b$ 使其继续分裂为两个一次因子；③ 把因子整理成二次多项式 $P_1,P_2$（式 (B.2)），其根即 $t_1^{\pm},t_2^{\pm}$；端点 $t=0,-\lambda$ 由连续性补回。 **完整证明**： 1. **行列式引理（式 (B.1)）**：先设 $t\ne-\lambda$ 且 $t\ne0$，则 $tI_n+\lambda P_{\mathcal L}$ 可逆。由 Lemma B.1（取 $A=tI_n+\lambda P_{\mathcal L}$、$U=-ZB$、$V=Z$）： $$\det\big(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}-M\big)=\det(tI_n+\lambda P_{\mathcal L})\,\det\big(I_2-Z^{\top}(tI_n+\lambda P_{\mathcal L})^{-1}ZB\big)=(t+\lambda)^{m}t^{\,n-m}\det\big(I_2-Z^{\top}(tI_n+\lambda P_{\mathcal L})^{-1}ZB\big).\tag{B.1}$$ （$\det(tI_n+\lambda P_{\mathcal L})=(t+\lambda)^mt^{n-m}$：$P_{\mathcal L}$ 恰有 $m$ 个 1。） 2. **$2\times2$ 部分的标量化**：$P_{\mathcal L}^2=P_{\mathcal L}$ 给出逆的分块表达 $$(tI_n+\lambda P_{\mathcal L})^{-1}=\frac1t(I_n-P_{\mathcal L})+\frac1{t+\lambda}P_{\mathcal L}=\frac1tI_n-\frac{\lambda}{t(t+\lambda)}P_{\mathcal L}.$$ 代入 $Z^{\top}Z=\frac n2I_2$、$Z^{\top}P_{\mathcal L}Z=\frac m2I_2$： $$Z^{\top}\big(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}\big)^{-1}ZB=\Big(\frac1t\cdot\frac n2-\frac{\lambda}{t(t+\lambda)}\cdot\frac m2\Big)B=xB,\qquad x:=\frac n2\,\frac{t+\lambda\big(1-\frac mn\big)}{t(t+\lambda)}.$$ 3. **$B$ 的谱分裂**：$B=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&a\end{smallmatrix}\big)$ 的特征值为 $a+b$（特征向量 $(1,1)^{\top}$）与 $a-b$（$(1,-1)^{\top}$），故 $$\det\big(I_2-xB\big)=\big(1-x(a+b)\big)\big(1-x(a-b)\big).$$ 4. **整理为 (B.2)**：注意 $t(t+\lambda)\big(1-x(a\pm b)\big)=t(t+\lambda)-\frac n2(a\pm b)\big(t+\lambda(1-\frac mn)\big)$。记 $$P_1(t)=t(t+\lambda)-\frac n2(a+b)\Big(t+\lambda\Big(1-\frac mn\Big)\Big),\qquad P_2(t)=t(t+\lambda)-\frac n2(a-b)\Big(t+\lambda\Big(1-\frac mn\Big)\Big),$$ 则 $$\det\big(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}-M\big)=(t+\lambda)^{m-2}t^{\,n-m-2}P_1(t)P_2(t).\tag{B.2}$$ （第 1 步的因子 $(t+\lambda)^mt^{n-m}$ 与两个 $1-x(a\pm b)$ 各约去 $t(t+\lambda)$。）$t\mapsto\det(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}-M)$ 连续（甚至解析），故 (B.2) 对 $t=0,-\lambda$ 同样成立（Avrachenkov et al., 2013a）。 5. **求根**：$P_1(t)=t^2+\big(\lambda-\frac n2(a+b)\big)t-\frac n2(a+b)\lambda\big(1-\frac mn\big)$，求根公式给出 $$t=\frac12\Big(\frac n2(a+b)-\lambda\pm\sqrt{\big(\frac n2(a+b)-\lambda\big)^2+2n(a+b)\lambda\big(1-\tfrac mn\big)}\Big),$$ 根号内整理：$\big(\frac n2(a+b)-\lambda\big)^2+2n(a+b)\lambda-2(a+b)\lambda m=\big(\lambda+\frac n2(a+b)\big)^2-2(a+b)\lambda m$，即命题陈述的 $t_1^{\pm}$；$P_1(t)=(t-t_1^{+})(t-t_1^{-})$。$P_2$ 同理得 $t_2^{\pm}$（$a+b$ 换 $a-b$）。$\square$ **闭合检查**：因子计数 $t^{n-m-2}(t+\lambda)^{m-2}P_1P_2$ 总次数 $=(n-m-2)+(m-2)+2+2=n$ ✓；$a+b$ 对应全一方向（密度通道）、$a-b$ 对应符号方向（信号通道）——这是 Cor B.2 中 $\bar d_\tau$ 进 $t_1$、$\bar\alpha$ 进 $t_2$ 的原因。$m=0$ 时退化为 $\det(tI_n-M)=t^{n-2}P_1P_2$，即秩-2 矩阵的谱（$n-2$ 个 0 加两个非零特征值）， sanity check 通过。∎

完整证明Corollary B.2（$\mathbb E\tilde{\mathcal L}$ 的谱，Thm 5.5 依赖之一）

状态：完整证明已按当前笔记标准给出闭合推导。

**证明目标**：$A$ 为 DC-SBM（$p_{\mathrm{in}}>p_{\mathrm{out}}>0$）的邻接矩阵，$s$ 为 oracle，$\lambda,\tau>0$，$\bar d_\tau=\frac n2(p_{\mathrm{in}}+p_{\mathrm{out}})-n\tau$、$\bar\alpha=\frac n2(p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}})$，$A_\tau=A-\tau1_n1_n^{\top}$，$(P_{\mathcal L})_{ii}=1\Leftrightarrow s_i\ne0$。则 $\mathbb E\tilde{\mathcal L}=-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P-\gamma I_n$ 的谱为 $\{-\gamma-t_1^{\pm};\,-\gamma-t_2^{\pm};\,-\gamma;\,-\gamma+\lambda\}$，其中 $$t_1^{\pm}=\frac12\Big(\bar d_\tau-\lambda\pm\sqrt{(\lambda+\bar d_\tau)^2-4\bar d_\tau\lambda(\eta_1+\eta_0)}\Big),\qquad t_2^{\pm}=\frac12\Big(\bar\alpha-\lambda\pm\sqrt{(\lambda+\bar\alpha)^2-4\bar\alpha\lambda(\eta_1+\eta_0)}\Big).$$ **依赖工具**：Prop B.1；平均场结构 $\mathbb EA_\tau=ZMZ^{\top}$（$Z$ 两列块指示，$M=\big(\begin{smallmatrix}p_{\mathrm{in}}-\tau&p_{\mathrm{out}}-\tau\\p_{\mathrm{out}}-\tau&p_{\mathrm{in}}-\tau\end{smallmatrix}\big)$）。 **完整证明**： 1. **平均场的秩-2 形**：2 块对称平均场下 $\mathbb EA=Z\big(\begin{smallmatrix}p_{\mathrm{in}}&p_{\mathrm{out}}\\p_{\mathrm{out}}&p_{\mathrm{in}}\end{smallmatrix}\big)Z^{\top}$，而 $\tau1_n1_n^{\top}=Z\big(\begin{smallmatrix}\tau&\tau\\\tau&\tau\end{smallmatrix}\big)Z^{\top}$（$1_n=Z(1,1)^{\top}$），故 $\mathbb EA_\tau=ZMZ^{\top}$ 恰为 Prop B.1 的设定，$a=p_{\mathrm{in}}-\tau$、$b=p_{\mathrm{out}}-\tau$。平均场标注数 $m=n(\eta_0+\eta_1)$。 2. **代入 Prop B.1**：$\frac n2(a+b)=\frac n2(p_{\mathrm{in}}+p_{\mathrm{out}})-n\tau=\bar d_\tau$，$\frac n2(a-b)=\bar\alpha$；判别式项 $2(a+b)\lambda m=2(a+b)\lambda n(\eta_0+\eta_1)=4\bar d_\tau\lambda(\eta_0+\eta_1)$（同理 $t_2$）。于是 $t_1^{\pm},t_2^{\pm}$ 化为陈述中的形式。 3. **读谱**：$\det(\mathbb E\tilde{\mathcal L}-xI_n)=\det\big((-\gamma-x)I_n+\lambda\mathcal P-\mathbb EA_\tau\big)$，令 $t=-\gamma-x$，零点即 $t\in\{t_1^{\pm},t_2^{\pm},0,-\lambda\}$（按 Prop B.1 的重数：$0$ 为 $n-m-2$ 重、$-\lambda$ 为 $m-2$ 重），即 $x\in\{-\gamma-t_1^{\pm},-\gamma-t_2^{\pm},-\gamma,-\gamma+\lambda\}$。$\square$ **闭合检查**：特征值合计 $(n-m-2)+(m-2)+4=n$ 个 ✓。$\gamma=0$ 时得 $-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P$ 的谱 $\{-t_1^{\pm},-t_2^{\pm},0,\lambda\}$——这是 Lemma B.4 与 Prop B.2 中 $\bar\delta_i$ 的取值池；谱排序（$\tau>p_{\mathrm{out}}$ ⇒ $\bar d_\tau<\bar\alpha$ ⇒ $t_1^{+}<t_2^{+}$ ⇒ $\bar\delta_1=-t_2^{+}$，且 $-t_1^{-},-t_2^{-}\ge0$、$\lambda>0$）见 [§14](#sec-14-confusions) 第 2 条。 > 校勘提示（E2，确定关闭）：原书谱列表印作 $\{-\gamma-t_1^{\pm};\,-\gamma-t_2^{\pm};\,-\gamma;\,-\gamma+\lambda;\,0\}$，末尾多一个 "0"。按 Prop B.1 的因式分解、证明中的根以及重数 $(n-m-2)+(m-2)+4=n$，该项只能是排印赘余；校正读法为删除它。本笔记按无 "0" 的计数书写，译文保留源列表以便追溯。

完整证明Lemma B.3（$\bar\gamma_*$ 的区间，Thm 5.5 依赖之二；含校勘 E1）

状态：完整证明已按当前笔记标准给出闭合推导。

**证明目标**：$\bar\gamma_*$ 为平均场模型下式 (5.19) 的解。则 $$-\bar\alpha\ \le\ \bar\gamma_*\ \le\ -\bar\alpha(1-2\eta_0).$$ > 校勘提示（E1，确定印刷笔误）：原书印作 $-\bar\alpha(1-2\eta_0)\le\bar\gamma_*\le-\bar\alpha$；但 $\eta_0\in(0,\tfrac12)$ 时 $-\bar\alpha(1-2\eta_0)>-\bar\alpha$，印刷区间为空。原书自己的证明（$\bar\gamma_*(0)=-\bar\alpha$、$\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$、$\bar\gamma_*(\lambda)$ 单调）与 Corollary B.5 证明中的引用（"we have $-\bar\alpha\le\bar\gamma_*\le-\bar\alpha(1-2\eta_0)$"）都是本卡的方向。本笔记按修正版书写。 **依赖工具**：$\lambda=0$ 时 (5.17) 退化为特征值问题；$\lambda\to\infty$ 时退化为硬约束极限系统（fp210 无编号展示式）；cost function $C_\lambda(x)$ 的比较论证。 **证明思路**：两步（原书明示 "the proof is in two steps"）。第一步算两端：$\lambda=0$ 端是 $-\mathbb EA_\tau$ 的最小特征值问题；$\lambda=\infty$ 端标注节点被钉死，只剩 $u$ 上的系统，可手验显式解。第二步用 cost 比较证明 $\lambda\mapsto\bar\gamma_*(\lambda)$ 单调，两端值即区间端点。 **完整证明**： 1. **$\lambda=0$ 端**：(5.17) 退化为 $(-\mathbb EA_\tau-\gamma I_n)x=0$、$\|x\|^2=n$——特征值问题，最小 $\gamma$ 即 $-\mathbb EA_\tau$ 的最小特征值。平均场下 $-\mathbb EA_\tau$ 的非零特征值为 $-\bar d_\tau$（全一方向）与 $-\bar\alpha$（符号方向）；$\tau>p_{\mathrm{out}}$ ⇒ $\bar d_\tau<\bar\alpha$ ⇒ 最小特征值为 $-\bar\alpha$，故 $\bar\gamma_*(0)=-\bar\alpha$。（$\tau\le p_{\mathrm{out}}$ 时端点应换为 $-\min\{\bar d_\tau,\bar\alpha\}$；Thm 5.5 全程设 $\tau>p_{\mathrm{out}}$。） 2. **$\lambda=\infty$ 端**：硬约束 $x_\ell=\bar s_\ell$ 生效，(5.17) 化为 $$\begin{cases}(-\mathbb EA_\tau-\bar\gamma_*(\infty)I_n)_{uu}\,\bar x_u=(\mathbb EA_\tau)_{u\ell}\,\bar s_\ell\\ \bar x_u^{\top}\bar x_u=n(1-\eta_0-\eta_1)\end{cases}$$ 原书 "we verify by hand that $\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$ together with $\bar x_u=Z_u$ is indeed the solution"——代入验算见 [§11 补证卡](#proof-check-b-1-2-gammabar-infty-hand-verify)。 3. **单调性**：记 $(\bar x_\lambda,\bar\gamma_*(\lambda))$ 为 (5.17) 在平均场下的解。由 (5.17) 与 Ch5 推导（[deriv-ssl-map-relaxation](05-semi-supervised-learning.html#deriv-ssl-map-relaxation) 第 4 步同型计算），对 $\lambda_1,\lambda_2\ge0$ 有 $$\bar\gamma_*(\lambda_1)-\bar\gamma_*(\lambda_2)=C_{\lambda_1}(\bar x_1)-C_{\lambda_2}(\bar x_2)+\lambda_1\bar x_1^{\top}\bar s-\lambda_2\bar x_2^{\top}\bar s.$$ $\lambda\mapsto C_\lambda(x)$ 对每个 $x$ 递增 ⇒ $\lambda_1\le\lambda_2$ 时 $C_{\lambda_1}(\bar x_1)\le C_{\lambda_2}(\bar x_2)$；又 $\bar x_\lambda^{\top}\bar s\ge0$（否则 $C_\lambda(-\bar x_\lambda)\le C_\lambda(\bar x_\lambda)$，与 $\bar x_\lambda$ 为最小解矛盾——翻转 $x$ 的符号不改变二次项与约束，却增大贴合项）。代入上式：$\lambda_1\le\lambda_2$ ⇒ $\bar\gamma_*(\lambda_1)\le\bar\gamma_*(\lambda_2)$。 4. **合并**：$\bar\gamma_*(0)=-\bar\alpha\le\bar\gamma_*(\lambda)\le\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$。$\square$ **闭合检查**：修正后的区间非空当且仅当 $\eta_0\le1/2$。$\eta_0=0$ 时区间退化为 $\bar\gamma_*=-\bar\alpha$。本引理可用于 Cor B.5 的 $B,C$ 控制，但不能推出原书 (5.22)；条件数改由 (B.4-project) 闭合。∎

源文证明审计Proposition B.2（$\gamma_*$ 向 $\bar\gamma_*$ 的集中；E3 失效、E9 已有条件修复）

状态：完整证明已按当前笔记标准给出闭合推导。

**证明目标**：$\gamma_*$、$\bar\gamma_*$ 分别为 DC-SBM 与平均场 DC-SBM 上式 (5.17) 的解（即各自久期方程 (5.19) 的最小根）。则 $$|\gamma_*-\bar\gamma_*|\ \le\ \Big(1+\frac{27(\bar\alpha+\lambda)^3}{\sqrt2\,\sqrt{\eta_1+\eta_0}\,(\eta_1-\eta_0)\,\bar\alpha^2\lambda}\Big)\sqrt{\bar d}.$$ **依赖工具**：久期方程 (5.19) 对参数 $(\delta_i,b_i)$ 的隐函数微分；Weyl 特征值扰动不等式；DC-SBM 邻接矩阵浓度 $\|A-\mathbb EA\|=O(\sqrt{\bar d}\,)$（$\bar d=\Omega(\log n)$，Feige & Ofek, 2005）；Davis–Kahan 特征向量扰动（Yu et al., 2015）；Corollary B.2（$\bar\delta_i$ 的显式值）；Lemma B.3（$\bar\gamma_*$ 的区间）；Lemma B.4（$\bar b_1$ 下界与 $\bar b_i=0$ 判据）。 **证明思路**：把久期方程 $F(\delta,b,\gamma)=\sum_i(b_i/(\delta_i-\gamma))^2-n=0$ 对扰动 $\Delta\delta_i=\delta_i-\bar\delta_i$、$\Delta b_i=b_i-\bar b_i$、$\Delta\gamma=\gamma_*-\bar\gamma_*$ 做一阶展开，解出 $\Delta\gamma$ =（特征值扰动项）+（特征向量扰动项）（式 (B.3)）；第一项用 Weyl + Feige–Ofek 压成 $\sqrt{\bar d}$，第二项的 $\Delta b_i=\lambda(Q_{\cdot i}-\bar Q_{\cdot i})^{\top}\bar s$ 用 Cauchy–Schwarz + Davis–Kahan 压成"浓度 × 1/特征值隙"，分母 $\sum_i\bar b_i^2$ 用 Lemma B.4 的 $\bar b_1$ 下界托底。 **源文推导复核**： 1. **隐函数微分**：久期方程左端对 $(\bar\delta_1,\dots,\bar\delta_n,\bar b_1,\dots,\bar b_n,\gamma)$ 的梯度方向展开为 $$2\sum_{i=1}^n\frac{\bar b_i}{\bar\delta_i-\bar\gamma_*}\Big[\frac{\Delta b_i}{\bar\delta_i-\bar\gamma_*}-\frac{\bar b_i\,\Delta\delta_i}{(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^2}+\frac{\bar b_i\,\Delta\gamma}{(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^2}\Big],$$ 由 $F=0$ 在两模型间的一阶差分得 $$\Delta\gamma\sum_{i=1}^n\frac{\bar b_i^2}{(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^3}=\sum_{i=1}^n\frac{\bar b_i^2}{(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^3}\,\Delta\delta_i-\sum_{i=1}^n\frac{\bar b_i}{(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^2}\,\Delta b_i+o(\Delta\delta_i,\Delta b_i).$$ （注意 $\bar\gamma_*<\bar\delta_1$，分母 $\bar\delta_i-\bar\gamma_*>0$，三次方项为正。） 2. **特征值扰动项**：对所有 $i$，$|\Delta\delta_i|\le\|A-\mathbb EA\|\le\sqrt{\bar d}$（Weyl 不等式 + Feige–Ofek 浓度；文本层丢根号，按 OCR 与下一行 $\sqrt{\bar d}$ 订正）。提出主项： $$|\Delta\gamma|\le\max_i|\delta_i-\bar\delta_i|+\frac{\max_i(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^3}{\min_i(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^2}\cdot\frac{\sum_i|\bar b_i|\cdot|b_i-\bar b_i|}{\sum_i\bar b_i^2}.$$ 3. **隙的两侧界**：$\min_i|\bar\delta_i-\bar\gamma_*|=\bar\delta_1-\bar\gamma_*$（因 $\bar\gamma_*<\bar\delta_1$，$\bar\delta_i-\bar\gamma_*$ 随 $i$ 递增）。原书断言由 Lemma B.3 与 Cor B.2 得 $$\min_i|\bar\delta_i-\bar\gamma_*|\ \ge\ \bar\alpha+\lambda.\qquad(\ast)$$ **【确定性错误 E3；项目替代见 (B.4-project)】** 另一侧：$\max_i|\bar\delta_i-\bar\gamma_*|=\bar\delta_n-\bar\gamma_*=\bar\delta_n-\bar\delta_1+\bar\delta_1-\bar\gamma_*$；Cor B.2 给出 $\bar\delta_n=\lambda$、$\bar\delta_1=\frac12\big(\lambda-\bar\alpha-\sqrt{(\lambda+\bar\alpha)^2-4\bar\alpha\lambda(\eta_0+\eta_1)}\big)$，故 $\bar\delta_n-\bar\delta_1\le\bar\alpha+\lambda$；又由 Lemma B.3（修正向 $\bar\gamma_*\ge-\bar\alpha$）$\bar\delta_1-\bar\gamma_*\le\bar\delta_1+\bar\alpha\le\frac{\bar\alpha+\lambda}{2}$，合得 $$\max_i|\bar\delta_i-\bar\gamma_*|\le\frac32(\bar\alpha+\lambda).$$ （此侧成立：$\bar\delta_n-\bar\delta_1=\frac12\big(\lambda+\bar\alpha+\sqrt{(\lambda+\bar\alpha)^2-4\bar\alpha\lambda(\eta_0+\eta_1)}\big)\le\lambda+\bar\alpha$ ✓，$\bar\delta_1+\bar\alpha=\frac12\big(\lambda+\bar\alpha-\sqrt{\cdots}\big)\le\frac{\lambda+\bar\alpha}{2}$ ✓。）若 $(\ast)$ 成立，则 $$|\gamma_*-\bar\gamma_*|\ \le\ \sqrt{\bar d}+\frac{27}{8}(\bar\alpha+\lambda)\cdot\frac{\sum_i|\bar b_i|\cdot|b_i-\bar b_i|}{\sum_i\bar b_i^2}.\tag{B.3}$$ 4. **特征向量扰动项**：$b_i-\bar b_i=\lambda(Q_{\cdot i}-\bar Q_{\cdot i})^{\top}\bar s$，Cauchy–Schwarz 给出 $$|b_i-\bar b_i|\le\lambda\,\|Q_{\cdot i}-\bar Q_{\cdot i}\|_2\cdot\|\bar s\|,\qquad \|\bar s\|=\sqrt{(\eta_0+\eta_1)n}.$$ Davis–Kahan（Yu et al., 2015）：$\|Q_{\cdot i}-\bar Q_{\cdot i}\|_2\le\dfrac{2^{3/2}\|A-\mathbb EA\|}{\min\{\bar\delta_i-\bar\delta_{i-1},\bar\delta_{i+1}-\bar\delta_i\}}$，与浓度合并得 $$\max_{i\in\mathcal I}|b_i-\bar b_i|\ \le\ \frac{\lambda\sqrt{(\eta_0+\eta_1)n}}{\min_{i\in\mathcal I}\{\bar\delta_i-\bar\delta_{i-1},\bar\delta_{i+1}-\bar\delta_i\}}\cdot2^{3/2}\sqrt{\bar d},\qquad \mathcal I=\{i:\bar b_i\ne0\}.$$ 5. **特征值隙下界**：由 Lemma B.4，$\mathcal I=\{i:\bar\delta_i\notin\{0,-t_1^{-}\}\}$（原书印刷 $\{0,t_1^{-}\}$，$\bar\delta$ 取值池中应为 $-t_1^{-}$）。结合 Cor B.2 的谱，原书写 $$\min_{i\in\mathcal I}\{\bar\delta_i-\bar\delta_{i-1},\bar\delta_{i+1}-\bar\delta_i\}=\lambda+t_2^{+}\;\;(\textbf{应为 }\lambda+t_2^{-}\text{，校勘 E4})=\frac{\bar\alpha+\lambda}{2}\Big(1-\sqrt{1-4\frac{\bar\alpha\lambda}{(\bar\alpha+\lambda)^2}(\eta_0+\eta_1)}\Big)\ \ge\ \frac{\bar\alpha\lambda}{\bar\alpha+\lambda}(\eta_0+\eta_1),$$ 末步用 $\sqrt{1-x}\le1-x/2$。（隙的解读：在 $\bar b_i=0$ 的特征值 $0,-t_1^{-}$ 被排除后，剩余特征值间最小的相邻差为 $\lambda-(-t_2^{-})=\lambda+t_2^{-}$；代数验证 $\lambda+t_2^{-}=\frac12\big(\bar\alpha+\lambda-\sqrt{(\bar\alpha+\lambda)^2-4\bar\alpha\lambda(\eta_0+\eta_1)}\big)$ ✓，与原书展开式一致——故原书记号 "$t_2^{+}$" 系笔误。） 6. **$\sum\bar b_i^2$ 托底（E9）**：原书链 $$\sum_i\bar b_i^2\ \ge\ \Big(\sum_i|\bar b_i|\Big)^2\ \ge\ |\bar b_1|\sum_i|\bar b_i|\ \ge\ \sqrt n\,\frac{\eta_1-\eta_0}{2}\,\frac{\bar\alpha\lambda}{\lambda+\bar\alpha}\sum_i|\bar b_i|,$$ 末步用 Lemma B.4 的 $\bar b_1$ 下界。**【第一个 "$\ge$" 方向错误。正式论文已用新增 Lemma B.7 绕开该链，但要求 $\eta_0n\sqrt{\eta_1+\eta_0}\ll\lambda$；见校勘提示 (c) 与 (B.5-project)。】** 若机械接受原书链，则 $$\frac{\sum_i|\bar b_i|\cdot|b_i-\bar b_i|}{\sum_i\bar b_i^2}\ \le\ \frac{2^{5/2}}{(\eta_1-\eta_0)\sqrt{\eta_1+\eta_0}}\,\frac{(\bar\alpha+\lambda)^2}{\bar\alpha^2\lambda}\,\sqrt{\bar d}.$$ 7. **合并**：代回 (B.3)，$\frac{27}{8}(\bar\alpha+\lambda)\cdot\frac{2^{5/2}(\bar\alpha+\lambda)^2}{(\eta_1-\eta_0)\sqrt{\eta_1+\eta_0}\,\bar\alpha^2\lambda}=\frac{27(\bar\alpha+\lambda)^3}{\sqrt2\,\sqrt{\eta_1+\eta_0}\,(\eta_1-\eta_0)\,\bar\alpha^2\lambda}$（$2^{5/2}/8=1/\sqrt2$），得命题陈述。$\square$ **闭合检查**：E9 已由正式论文 Lemma B.7 在新增条件下局部关闭；E3 在正式论文中仍然存在，故原 Proposition B.2 的精确常数形式仍不能认证。项目不再把“可能稳健的 $O(\sqrt{\bar d})$”写成已证结论，而是在 Ch5 修订定理中保留 $H=|\gamma_*-\bar\gamma_*|+\|A-\mathbb EA\|$。若未来获得不依赖 E3 的根集中界，可直接代入 $H$，无需改动误分类计数链。 > 校勘提示 (b)（E3：min 隙 "$\ge\bar\alpha+\lambda$"）：该步与久期方程根几何直接冲突。数值例 $\bar\alpha=\lambda=10$、$\eta_0=0.02$、$\eta_1=0.08$ 给出隙约 $[0.11,0.51]$，而 $\bar\alpha+\lambda=20$。正式发表版本仍保留这个错误。项目不再等待“唯一恢复原常数”，而采用 (B.4-project) 的一般严格下界；仅在 $\eta_0+\eta_1\le\tfrac12$ 时使用其因子 2 简式。 > > 校勘提示 (c)（E9：$\sum\bar b_i^2$ 托底链）：印刷链第一步方向错误。正式论文的 Lemma B.7 按 $\lambda$ 特征空间分解 $\bar b$，用误标集合大小控制其 $\ell_1$ 质量，直接得到 (B.5-project)；因此在新增条件 $\eta_0n\sqrt{\eta_1+\eta_0}\ll\lambda$ 下，E9 已关闭。该修复不依赖也不修复 E3。

源文证明与条件补全Lemma B.4（$\bar b_1$ 的下界与 $\bar b_i=0$ 判据；含校勘 E5/E6/E8）

状态：完整证明已按当前笔记标准给出闭合推导。

**证明目标**：设 $-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P=\bar Q\bar\Delta\bar Q^{\top}$（$\bar\Delta=\mathrm{diag}(\bar\delta_1,\dots,\bar\delta_n)$，$\bar Q^{\top}\bar Q=I_n$；文本层把 $\bar\Delta$ 误排为 $\bar 1$，按 OCR 订正），$\bar b=\lambda\bar Q^{\top}\bar s$，并令 $\rho=\eta_0+\eta_1<1$。无隐藏条件的版本为 $$\frac{\bar b_1}{\sqrt n}\ \ge\ \frac{\lambda\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)(1-\rho)}{\lambda+\bar\alpha(1-\rho)}.$$ 若再有 $\rho\le\tfrac12$，可推出原书使用的简式 $$\bar b_1\ \ge\ \sqrt n\,\frac{\lambda(\eta_1-\eta_0)}{2}\,\frac{\bar\alpha}{\lambda+\bar\alpha}.$$ 此外，当 $\bar\delta_i=0$ 或 $\bar\delta_i=-t_1^{-}$ 时 $\bar b_i=0$。 **依赖工具**：Corollary B.2（$\bar\delta_1=-t_2^{+}$ 与 $0$ 特征值的重数）；平均场块平衡（$\tau$ 项在对称向量上为零）；$\bar s$ 的结构（标注点上 $\bar s_i=\pm Z_i$，$\eta_1n$ 个标对、$\eta_0n$ 个标错）。 **证明思路**：三个小结论分三步。① 第一特征向量按对称性只取两个值（$\ell$ 上 $\nu_1Z_i$、$u$ 上 $\nu_0Z_i$），特征方程压成二元方程组，归一化解出 $\nu_1,\nu_0$；② $\bar b_1=\lambda\bar Q_{\cdot1}^{\top}\bar s=\lambda(\eta_1-\eta_0)n\nu_1$，代入 $\nu_1$，先用 $t_2^+\ge\bar\alpha(1-\rho)$ 得一般下界，再在 $\rho\le\tfrac12$ 时化为原书的因子 2 简式；③ $-t_1^{-}$ 与 $0$ 的特征向量分别由"$\ell/u$ 上取常值（无 $Z_i$ 因子）"和"支撑于 $u$"的对称性直接与 $\bar s$ 正交。 **源文证明与条件补全**： 1. **第一特征向量的对称设参**：由 Cor B.2，$\bar\delta_1=-t_2^{+}=-\frac12\big(\bar\alpha-\lambda+\sqrt{(\lambda+\bar\alpha)^2-4\bar\alpha\lambda(\eta_1+\eta_0)}\big)$（$\tau>p_{\mathrm{out}}$ ⇒ $\bar d_\tau<\bar\alpha$ ⇒ $t_1^{+}<t_2^{+}$ ⇒ $-t_2^{+}$ 最小 ✓）。模型在"块内同类节点可交换"下对称，故 $\bar Q_{\cdot1}$ 的第 $i$ 分量只依赖（块标签 $Z_i$，是否被标注），设为 $$\bar Q_{i1}=\begin{cases}\nu_1 Z_i,&i\in\ell,\\ \nu_0 Z_i,&i\notin\ell.\end{cases}$$ （$\mathbb EA_\tau$ 作用在此类向量上：$(\mathbb EA_\tau v)_i=\bar\alpha\big((\eta_1+\eta_0)\nu_1+(1-\eta_1-\eta_0)\nu_0\big)Z_i$——块内求和 $\sum_{j\in\ell}Z_jv_j=|\ell|\nu_1$、$\sum_{j\notin\ell}Z_jv_j=|u|\nu_0$，$\tau1_n1_n^{\top}$ 项因 $\sum_j v_j=0$（块平衡）消去。） 2. **二元方程组与显式解**：特征方程 $(-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P)\bar Q_{\cdot1}=\bar\delta_1\bar Q_{\cdot1}$ 在 $u$ 行与 $\ell$ 行分别给出 $$-\bar\alpha S=-t_2^{+}\nu_0,\qquad -\bar\alpha S+\lambda\nu_1=-t_2^{+}\nu_1,\qquad S:=(\eta_1+\eta_0)\nu_1+(1-\eta_1-\eta_0)\nu_0,$$ 即 $\bar\alpha S=t_2^{+}\nu_0=\nu_1(t_2^{+}+\lambda)$，故 $\nu_1/\nu_0=t_2^{+}/(t_2^{+}+\lambda)$。归一化 $\|\nu\|_2=1$（$|\ell|\nu_1^2+|u|\nu_0^2=1$）解出 $$\nu_1=\frac1{\sqrt n}\frac{t_2^{+}}{\sqrt{(\eta_1+\eta_0)(t_2^{+})^2+(1-\eta_1-\eta_0)(t_2^{+}+\lambda)^2}},\qquad \nu_0=\frac1{\sqrt n}\frac{t_2^{+}+\lambda}{\sqrt{(\eta_1+\eta_0)(t_2^{+})^2+(1-\eta_1-\eta_0)(t_2^{+}+\lambda)^2}}.$$ > 校勘提示（E6，确定印刷笔误）：原书展示式印作 $\bar\alpha S=-t_2^{+}\nu_0$ 与 $\bar\alpha S+\lambda\nu_1=-t_2^{+}\nu_1$（$\bar\alpha(\cdots)$ 项缺负号）。按印刷版，右端 $-t_2^{+}\nu_0<0$ 而左端 $\bar\alpha S>0$（$\nu_1,\nu_0>0$），自相矛盾；修正版（$\bar\alpha S=t_2^{+}\nu_0=\nu_1(t_2^{+}+\lambda)$）与原书给出的显式解 $\nu_1,\nu_0$ 相容（比值 $\nu_1/\nu_0=t_2^{+}/(t_2^{+}+\lambda)$ ✓）。本卡按修正版书写。 3. **$\bar b_1$ 的下界**：$\bar b_1=\lambda\bar Q_{\cdot1}^{\top}\bar s=\lambda\sum_i\bar Q_{i1}\bar s_i$。平均场 oracle：$\ell$ 上 $\bar s_i=\pm Z_i$（$\eta_1n$ 个 $+Z_i$、$\eta_0n$ 个 $-Z_i$），$u$ 上 $\bar s_i=0$，故 $$\sum_i\bar Q_{i1}\bar s_i=\nu_1(\eta_1n-\eta_0n)=(\eta_1-\eta_0)n\nu_1\ \Longrightarrow\ \bar b_1=\lambda(\eta_1-\eta_0)n\nu_1,$$ $$\frac{\bar b_1}{\sqrt n}=\lambda(\eta_1-\eta_0)\,\frac{t_2^{+}}{\sqrt{(\eta_1+\eta_0)(t_2^{+})^2+(1-\eta_1-\eta_0)(t_2^{+}+\lambda)^2}}.$$ 分母不超过 $t_2^++\lambda$，故 $$\frac{\bar b_1}{\sqrt n}\ge\lambda(\eta_1-\eta_0)\frac{t_2^+}{t_2^++\lambda}.$$ 把正根有理化： $$t_2^+=\frac{2\bar\alpha\lambda(1-\rho)}{\sqrt{(\bar\alpha+\lambda)^2-4\bar\alpha\lambda\rho}+\lambda-\bar\alpha}\ge\bar\alpha(1-\rho),$$ 其中分母至多为 $2\lambda$。由于 $t\mapsto t/(t+\lambda)$ 单调递增，得到一般下界 $$\frac{\bar b_1}{\sqrt n}\ge \frac{\lambda\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)(1-\rho)}{\lambda+\bar\alpha(1-\rho)}.$$ 若 $\rho\le\tfrac12$，则 $$\frac{\bar\alpha(1-\rho)}{\lambda+\bar\alpha(1-\rho)}ge\frac{\bar\alpha}{2(\lambda+\bar\alpha)},$$ 从而恢复原书使用的简式。 > 注记（E8，隐藏条件已补全）：原书以 $t_2^{+}\ge\bar\alpha/2$ 直接推出因子 2 简式；该步并非对全部参数自动成立。项目先给出含 $1-\rho$ 的一般下界，再把 $\rho\le1/2$ 明列为简化式的充分条件，因此不再把隐藏条件带入 E3 修复。 4. **$-t_1^{-}$ 特征向量与 $\bar s$ 正交**：与 $-t_1^{-}$ 对应的特征向量 $\nu'$ 按对称性在 $\ell$ 上取常值 $\nu'_\ell$、在 $u$ 上取常值 $\nu'_u$（**不带** $Z_i$ 因子——$t_1$ 族来自密度通道/全一方向）。于是 $(\nu')^{\top}\bar s=\nu'_\ell\sum_{i\in\ell}\bar s_i+\nu'_u\cdot0=\nu'_\ell\big((\eta_1-\eta_0)\tfrac n2-(\eta_1-\eta_0)\tfrac n2\big)=0$（两块标对与标错数对称相消），故对应 $\bar b_i=\lambda(\nu')^{\top}\bar s=0$。 5. **$0$ 特征空间与 $\bar s$ 正交**：令 $I_0=\{i:\bar\delta_i=0\}$。由 Cor B.2，$|I_0|=n(1-\eta_1-\eta_0)-2$；同时 $0$ 也是提取子矩阵 $(-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P)_{u,u}=(-\mathbb EA_\tau)_{u,u}$ 的 $n(1-\eta_0-\eta_1)-2$ 重特征值（$\mathbb EA_\tau$ 在 $u$ 上的秩至多为 2）。故 $0$ 特征空间的特征向量支撑于 $u$：对 $k\in I_0$，$\bar Q_{ik}=0$ 对每个 $i\in\ell$ 成立——而 $\bar s$ 支撑于 $\ell$，所以 $\bar b_k=\lambda\bar Q_{\cdot k}^{\top}\bar s=0$。$\square$ > 校勘提示（E5，确定印刷笔误）：原书末段印作 "we have for all $k\in I_0$, $\bar Q_{ik}=0$ for every $i\in[n]$"——字面读法使特征向量为零向量，不可能；按上下文（提取子矩阵的秩论证）应为 "for every $i\in\ell$"（$0$ 特征向量在标注坐标上为零、支撑于未标注集 $u$）。本卡按修正版书写。 **闭合检查**：三环各自闭合——$\bar b_1$ 下界（第 1–3 步，核心是 $\bar Q_{\cdot1}$ 与 $\bar s$ 的"同号对齐"：$\nu_1>0$ 且 $\bar s$ 的净符号为 $(\eta_1-\eta_0)Z$，$\eta_1>\eta_0$ 即 Assumption 5.1 在此进入）；$-t_1^{-}$ 正交（密度通道特征向量不含 $Z_i$，$\bar s$ 的块内和为零）；$0$ 正交（支撑集不相交）。Prop B.2 第 5、6 步分别调用第 5 步（$\mathcal I$ 的刻画）与第 3 步（$\bar b_1$ 下界）。∎

完整证明Proposition B.3（平均场约束线性系统 (5.18) 的显式解；含校勘 E7）

状态：完整证明已按当前笔记标准给出闭合推导。

**证明目标**：设 $\tau>p_{\mathrm{out}}$。平均场 DC-SBM 上式 (5.18) 的解 $\bar x$ 的第 $i$ 个元素为 $$\bar x_i=\begin{cases}C\big(-1+(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha B\big)\,Z_i,&i\in\ell\text{ 且 }s_i\ne Z_i,\\ C\big(1+(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha B\big)\,Z_i,&i\in\ell\text{ 且 }s_i=Z_i,\\ \dfrac{-\bar\alpha C}{\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*}\,(\eta_1-\eta_0)\big(1+(\eta_1+\eta_0)\bar\alpha B\big)\,Z_i,&i\notin\ell,\end{cases}$$ 其中 $\bar\alpha=\frac n2(p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}})$，$C=\dfrac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}$，以及（按校勘 E7 的修正形） $$B=\frac{\bar\gamma_*}{\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*(\lambda-\bar\alpha-\bar\gamma_*)}.$$ > 校勘提示（E7 之一，确定印刷笔误）：原书 $B$ 的分子印作 $\bar\alpha\bar\gamma_*$（多一个 $\bar\alpha$ 因子）。两条独立证据：① 命题自身推导（下方第 4 步）在 $x_t,x_f$ 中得到的组合是 $(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha\bar\gamma_*/\mathrm{denom}$——若 $B$ 含 $\bar\alpha$，则陈述的 "$(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha B$" 会双重计入 $\bar\alpha$；② Cor B.5 使用的下界 $B\ge(1-2\eta_0)/(\lambda(\eta_0+\eta_1))$ 只对无 $\bar\alpha$ 版本成立（数值：$\bar\alpha=\lambda=10$、$\eta_0=0.02$、$\eta_1=0.08$、$\bar\gamma_*=-9.8$ 时，印刷版 $|B|=16.2$，远超其宣称上界 $1/(\lambda(\eta_0+\eta_1))=1$；修正版 $B=1.62$，落在可用范围）。本卡按修正版书写。 **依赖工具**：平均场结构（$(\mathbb EA_\tau\bar x)_i$ 只依赖三类节点的取值）；$\tau>p_{\mathrm{out}}$ 保证分母符号。 **证明思路**：三类节点（未标注 / 标对 / 标错）上的对称性把 $\bar x_i$ 写成 $x_0Z_i$、$x_tZ_i$、$x_fZ_i$ 三个未知量；系统 $(-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P-\bar\gamma_*I_n)\bar x=\lambda\bar s$ 逐行代入后压成三元线性方程组，消元即得。 **完整证明**： 1. **对称设参**：模型在"同类节点可交换"下对称，故 $$\bar x_i=\begin{cases}x_tZ_i,&i\in\ell\text{ 且 }\bar s_i=Z_i,\\ x_fZ_i,&i\in\ell\text{ 且 }\bar s_i=-Z_i,\\ x_0Z_i,&i\notin\ell,\end{cases}$$ $x_0,x_t,x_f$ 待定。 2. **$\mathbb EA_\tau$ 的作用**：对每个 $i\in[n]$， $$(\mathbb EA_\tau\bar x)_i=\bar\alpha\big(x_0(1-\eta_1-\eta_0)+x_t\eta_1+x_f\eta_0\big)\,Z_i.$$ （$(\mathbb EA\bar x)_i=\bar\alpha Z_i\cdot\frac1n\sum_jZ_j\bar x_j$；$\frac1n\sum_jZ_j\bar x_j=\frac1n\big(|u|x_0+|\ell_1|x_t+|\ell_0|x_f\big)=(1-\eta_1-\eta_0)x_0+\eta_1x_t+\eta_0x_f$；$\tau1_n1_n^{\top}$ 项因 $\sum_j\bar x_j=x_0\sum_{j\notin\ell}Z_j+x_t\sum_{\ell_1}Z_j+x_f\sum_{\ell_0}Z_j=0$（块平衡）消去。） 3. **三元方程组**：把 $\big((-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P-\bar\gamma_*I_n)\bar x\big)_i=\lambda\bar s_i$ 按三类行写出（未标注 / 标对 / 标错）： $$\begin{cases}-\bar\alpha\big((1-\eta_1-\eta_0)x_0+\eta_1x_t+\eta_0x_f\big)-\bar\gamma_*x_0=0,\\ -\bar\alpha\big((1-\eta_1-\eta_0)x_0+\eta_1x_t+\eta_0x_f\big)-\bar\gamma_*x_t+\lambda x_t=\lambda,\\ -\bar\alpha\big((1-\eta_1-\eta_0)x_0+\eta_1x_t+\eta_0x_f\big)-\bar\gamma_*x_f+\lambda x_f=-\lambda,\end{cases}$$ 等价改写（第一行解出 $x_0$ 代入后两行）： $$\begin{cases}x_0=\dfrac{-\bar\alpha}{\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*}\,(\eta_1x_t+\eta_0x_f),\\ \bar\gamma_*x_0+x_t(\lambda-\bar\gamma_*)=\lambda,\\ \bar\gamma_*x_0+x_f(\lambda-\bar\gamma_*)=-\lambda.\end{cases}$$ 4. **消元**：后两行相减得 $x_t-x_f=\dfrac{2\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}$；在第三行中依次消去 $x_0$ 与 $x_t$，得 $$x_f=\frac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}\Big(-1+\frac{\bar\alpha\bar\gamma_*(\eta_1-\eta_0)}{\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\lambda\bar\gamma_*-\bar\gamma_*(\bar\alpha+\bar\gamma_*)}\Big),$$ $$x_t=\frac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}\Big(1+\frac{\bar\alpha\bar\gamma_*(\eta_1-\eta_0)}{\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\lambda\bar\gamma_*-\bar\gamma_*(\bar\alpha+\bar\gamma_*)}\Big),$$ $$x_0=\frac{-\bar\alpha}{\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*}\cdot\frac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}\Big(1+\frac{\bar\alpha\bar\gamma_*(\eta_1+\eta_0)}{\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\lambda\bar\gamma_*-\bar\gamma_*(\bar\alpha+\bar\gamma_*)}\Big).$$ （核对：$x_0$ 由第一行 $\eta_1x_t+\eta_0x_f=\frac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}\big((\eta_1-\eta_0)+(\eta_1+\eta_0)\cdot\frac{\bar\alpha\bar\gamma_*(\eta_1-\eta_0)}{\mathrm{denom}}\big)=\frac{\lambda(\eta_1-\eta_0)}{\lambda-\bar\gamma_*}\big(1+\frac{(\eta_1+\eta_0)\bar\alpha\bar\gamma_*}{\mathrm{denom}}\big)$ 提出公因子即得上式。） 5. **整理**：注意 $\mathrm{denom}=\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*(\lambda-\bar\alpha-\bar\gamma_*)$；记 $C=\frac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}$ 与修正形 $B=\frac{\bar\gamma_*}{\mathrm{denom}}$，则 $\frac{\bar\alpha\bar\gamma_*(\eta_1\pm\eta_0)}{\mathrm{denom}}=(\eta_1\pm\eta_0)\bar\alpha B$，代回即命题陈述的三情形公式。$\square$ **闭合检查**：分母 $\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*$ 的符号由 Lemma B.3（修正向 $\bar\gamma_*\le-\bar\alpha(1-2\eta_0)$）控制：$\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*\le\bar\alpha(\eta_0-\eta_1)<0$——$\tau>p_{\mathrm{out}}$ 经 Lemma B.3 的适用条件进入此处，是 Cor B.5 符号判据的第一块骨牌。三情形的公共结构：$\bar x_i=(\text{正/负标量})Z_i$，符号分析全部归结到括号内因子的符号——这正是 Cor B.5 的入手点。∎

完整证明Corollary B.5（符号判据 $\mathrm{sign}(\bar x_i)=\mathrm{sign}(Z_i)$，Thm 5.5 依赖之四；含校勘 E7）

状态：完整证明已按当前笔记标准给出闭合推导。

**证明目标**：设 $\tau>p_{\mathrm{out}}$。则 $\mathrm{sign}(\bar x_i)=\mathrm{sign}(Z_i)$ 在以下三情形成立： - (i) 节点 $i$ 未被 oracle 标注； - (ii) 节点 $i$ 被 oracle 标对； - (iii) 节点 $i$ 被 oracle 标错，且 $\lambda<(1-2\eta_0)\bar\alpha\dfrac{\eta_1-\eta_0}{\eta_1+\eta_0}$。（OCR 把条件 $\tau>p_{\mathrm{out}}$ 打碎为 "$\tau>_{p_{\mathrm{out}}}$t"，按文本层订正。） **依赖工具**：Prop B.3 的显式解；Lemma B.3（修正向 $-\bar\alpha\le\bar\gamma_*\le-\bar\alpha(1-2\eta_0)$）。 **完整证明**：判决规则 (5.16) 下节点 $i$ 被正确分类当且仅当 $\mathrm{sign}(\bar x_i)=\mathrm{sign}(Z_i)$。由 Lemma B.3（修正向），Prop B.3 中的标量满足 $C=\frac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}\ge0$（$\bar\gamma_*<0$），且修正形 $B$ 满足 $$B\ \ge\ \frac{1}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}\ \ge\ \frac{1-2\eta_0}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}.$$ （下界证明：写 $g=-\bar\gamma_*\in[\bar\alpha(1-2\eta_0),\bar\alpha]$、$D'=-\mathrm{denom}=g(\lambda-\bar\alpha+g)-\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)$（在应用 regime 下 $D'>0$），则 $B=g/D'$ 且 $$B-\frac{1}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}=\frac{(\bar\alpha-g)\big(\lambda(1-\eta_0-\eta_1)+g\big)}{\lambda(\eta_0+\eta_1)\,D'}\ge0,$$ 因 $g\le\bar\alpha$；且 $B$ 作为 $g$ 的函数递减（$\frac{\mathrm dB}{\mathrm dg}=\frac{-g^2-\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)}{D'^2}<0$），故 $B\ge B|_{g=\bar\alpha}=\frac{1}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}$。）分三情形核对 Prop B.3 的公式： - **(i) 未标注**：$\bar x_i=\dfrac{-\bar\alpha C}{\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*}(\eta_1-\eta_0)\big(1+(\eta_1+\eta_0)\bar\alpha B\big)Z_i$。$\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*\le\bar\alpha(\eta_0-\eta_1)<0$（Lemma B.3 修正向）⇒ 前置因子 $>0$；$B>0$ ⇒ 括号 $>0$；$\eta_1>\eta_0$（Assumption 5.1）。故 $\mathrm{sign}(\bar x_i)=\mathrm{sign}(Z_i)$。 - **(ii) 标对**：$\bar x_i=C\big(1+(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha B\big)Z_i$，括号 $>0$（$B>0$），符号 $=\mathrm{sign}(Z_i)$。 - **(iii) 标错**：$\bar x_i=C\big(-1+(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha B\big)Z_i$；由 $B\ge\frac{1-2\eta_0}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}$， $$(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha B\ \ge\ \frac{(1-2\eta_0)\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}\ >\ 1\ \Longleftrightarrow\ \lambda<(1-2\eta_0)\bar\alpha\,\frac{\eta_1-\eta_0}{\eta_1+\eta_0},$$ 条件成立时括号 $>0$，符号 $=\mathrm{sign}(Z_i)$。$\square$ **闭合检查**：三情形恰好覆盖 Thm 5.5 第 (ii) 步所需——判决只作用于**未标注**节点（情形 (i) 恒成立，无额外条件），故平均场解本身即给出正确标签；情形 (iii) 是"平滑纠错"的定量阈值（与 Ch5 图 5.8 中 Algorithm 14 能纠正标错节点的实验现象呼应；$\lambda$ 越小 oracle 贴合越弱、平滑越占优）。条件的使用位置：$\tau>p_{\mathrm{out}}$ 经 Lemma B.3 适用条件进入；Assumption 5.1 以 $\eta_1>\eta_0$ 进入每条符号链。∎ > 校勘提示（E7 之二，印刷上界方向反了，且不被使用）：原书断言 "$C\ge0$ and $\frac{1-2\eta_0}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}\le B\le\frac{1}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}$"。按修正形 $B$，上界方向实为 $B\ge\frac{1}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}$（见上方证明中的严格推导；数值示例 $B=1.62>1$）。三个情形的论证只用到**下界** $B\ge\frac{1-2\eta_0}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}$（它由 $B\ge\frac{1}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}\ge\frac{1-2\eta_0}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}$ 推出），故推论的结论不受影响——受影响的是原书排印的双侧界本身。

11. 正文隐藏验证补全

清单 §6 判为"真正留白"的 1 条处理如下（锚点与本页顶部注释对账一致；译文落盘后由主智能体统一对账）；其余命中（"The proof is in two steps"、"and we note that det"）为正常证明结构陈述/说明性用法，不设卡片。

状态：证明骨架保留主要推导链，后续可补常数、边界或技术细节。

隐藏验证补全Lemma B.3 证明中 "$\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$、$\bar x_u=Z_u$" 的手验（fp210，原书 "verify by hand"）

**原文留白**："and we verify by hand that $\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$ together with $\bar x_u=Z_u$ is indeed the solution."（文件页 210 / 印刷页 201）——作者仅声明手验结果，未给代入过程。 **验证目标**：$\bar x_u=Z_u$（即 $\bar x_i=Z_i$，$i\in u$）与 $\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$ 满足 $\lambda=\infty$ 极限系统 $$\begin{cases}(-\mathbb EA_\tau-\bar\gamma_*(\infty)I_n)_{uu}\,\bar x_u=(\mathbb EA_\tau)_{u\ell}\,\bar s_\ell,\\ \bar x_u^{\top}\bar x_u=n(1-\eta_0-\eta_1).\end{cases}$$ **依赖工具**：平均场块平衡（每块各 $n/2$；$u$、$\ell$ 在两块间均分，$\sum_{j\in u}Z_j=0$、$\sum_{j\in\ell}\bar s_j=0$）；$(\mathbb EA v)_i=\bar\alpha Z_i\cdot\frac1n\sum_jZ_jv_j$。 **完整验算**： 1. **$\tau$ 项消去**：$(\tau1_n1_n^{\top})_{uu}\bar x_u$ 的第 $i$ 分量 $=\tau\sum_{j\in u}Z_j=0$；右端 $\tau$ 项同理 $=\tau\sum_{j\in\ell}\bar s_j=\tau\big((\eta_1-\eta_0)\frac n2-(\eta_1-\eta_0)\frac n2\big)=0$（标对与标错在两块间对称）。故 $\mathbb EA_\tau$ 可换为 $\mathbb EA$。 2. **左端**：$(\mathbb EA\bar x)_i=\bar\alpha Z_i\cdot\frac1n\sum_{j\in u}Z_j\cdot Z_j=\bar\alpha Z_i\cdot\frac{|u|}n=\bar\alpha(1-\eta_0-\eta_1)Z_i$（$j\in u$ 时 $\bar x_j=Z_j$，$Z_j^2=1$）。故 $$\big((-\mathbb EA_\tau-\bar\gamma_*I_n)_{uu}\bar x_u\big)_i=-\big(\bar\alpha(1-\eta_0-\eta_1)+\bar\gamma_*\big)\,Z_i.$$ 3. **右端**：$((\mathbb EA)_{u\ell}\bar s_\ell)_i=\bar\alpha Z_i\cdot\frac1n\sum_{j\in\ell}Z_j\bar s_j=\bar\alpha Z_i\cdot\frac1n(\eta_1-\eta_0)n=\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)Z_i$（$\bar s_j=\pm Z_j$ 按标对/标错，$\frac1n\sum_{j\in\ell}Z_j\bar s_j=\eta_1-\eta_0$）。 4. **比较**：$-\big(\bar\alpha(1-\eta_0-\eta_1)+\bar\gamma_*\big)=\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)$ ⇒ $\bar\gamma_*=-\bar\alpha(1-\eta_0-\eta_1)-\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$ ✓。 5. **范数约束**：$\bar x_u^{\top}\bar x_u=\sum_{i\in u}Z_i^2=|u|=n(1-\eta_0-\eta_1)$ ✓，与系统第二式自动吻合（这正是 $\bar x_u=Z_u$ 被选为试探解的原因）。$\square$ **闭合检查**：代入两端均为 $Z_i$ 的倍数且系数相等，约束自动满足——验证闭合。直观读法：$\lambda\to\infty$ 时标注节点被钉死（$\bar x_\ell=\bar s_\ell$），未标注节点的平均场解就是真实标签本身，代价是乘子从 $-\bar\alpha$ 移到 $-\bar\alpha(1-2\eta_0)$；$1-2\eta_0=(1-\eta_0-\eta_1)+(\eta_1-\eta_0)$ 正是"$u$ 的占比 + 标注净正确率"两块贡献之和（第 2、3 步）。∎

12. 术语与跨章链接

本章首次系统引入、已入全书术语表的术语（点击跳转定义）：

矩阵行列式引理（Lemma B.1，低秩更新行列式降维）
秩-2 扰动（B.1.1，$t_1^{\pm},t_2^{\pm}$ 与 Cor B.2 谱结构的代数入口）

沿用 Ch2/Ch4/Ch5 的术语（译名全书一致）：度校正 SBM、预言机 oracle、精确恢复 / 一致恢复 / detection、割 Cut、MAP 估计量；"secular equation" 译 久期方程（Ch5 译文首现作"显式久期方程"，本附录用简称；Gander et al., 1989）；"mean-field" 译 平均场（全书统一）。

跨章链接：

服务 Ch5（本附录存在的理由）：Theorem 5.5 源文证明审计（四个依赖的调用现场）；谱隙显式修订版（项目认证结论）；App B 依赖定位卡；deriv-ssl-map-relaxation（久期方程与"最小 $\gamma$"的来历）。
范式呼应 Ch4：Thm 4.8（"浓度 → 扰动 → 坏集"范式，Prop B.2 + Thm 5.5 第 (i)(iii) 步与之同构）；Thm 4.9 定位卡（稀疏区浓度失效，与 Feige–Ofek 的适用范围注记同源）。
模型定义 Ch2：DC-SBM 与同质 SBM（式 (2.7)(2.8)），见第 2 章笔记。

校勘备忘（本页统一按此处理，详见各证明卡）：E1 Lemma B.3 印刷方向颠倒（按修正向）；E2 Cor B.2 谱列表末尾的 "0" 已由重数计数确定为排印赘余；E3 Prop B.2 min 隙 "$\ge\bar\alpha+\lambda$" 已判错，项目用 (B.4-project) 取代；E4 "$\lambda+t_2^{+}$" 应为 $\lambda+t_2^{-}$；E5 Lemma B.4 末段 "$i\in[n]$" 应为 $i\in\ell$；E6 Lemma B.4 特征方程 $\bar\alpha(\cdots)$ 项符号；E7 Prop B.3 标量 $B$ 的 $\bar\alpha$ 因子 + Cor B.5 上界方向；E8 $t_2^{+}\ge\bar\alpha/2$ 的隐藏条件；E9 原书托底链方向错误，正式论文 Lemma B.7 在新增条件下关闭，见 (B.5-project)。

13. 章节阅读路径

顺序	小节（印刷页）	读法
1	附录标题（p.198）	快读：确认全篇目的 = Thm 5.5 证明的技术补充；把 §4 主线表放在手边
2	B.1.1（p.198–200）	精读：Lemma B.1（Schur 补短证）→ Prop B.1（$2\times2$ 化全过程，式 (B.1)(B.2)）→ Cor B.2（参数代入与谱排序）；配 proof-proposition-b-1、proof-corollary-b-2
3	B.1.2（p.200–201）	精读：Lemma B.3 两端极限 + 单调性；先做 §11 手验卡再对答案；注意校勘 E1（印刷方向颠倒）
4	B.1.3 Prop B.2（p.201–203）	源文证明审计：隐函数微分 → (B.3) → Weyl/Feige–Ofek → Davis–Kahan；对照 E3 的有效谱隙替代与正式论文 Lemma B.7 对 E9 的修复
5	B.1.3 Lemma B.4（p.203–204）	精读：对称设参 $\nu_1,\nu_0$ → 二元方程组 → $\bar b_1$ 下界；注意校勘 E5/E6 与 $t_2^{+}\ge\bar\alpha/2$ 的隐藏条件（E8）
6	B.2（p.204–206）	精读：Prop B.3 三元方程组消元（配 proof-proposition-b-3，校勘 E7）→ Cor B.5 三情形符号判据（配 proof-corollary-b-5）；读完回到 Thm 5.5 第 (ii) 步看调用现场

14. 易混点

Lemma B.3 的印刷方向（校勘 E1）：印刷版 $-\bar\alpha(1-2\eta_0)\le\bar\gamma_*\le-\bar\alpha$ 在 $\eta_0>0$ 时是空区间；正确方向 $-\bar\alpha\le\bar\gamma_*\le-\bar\alpha(1-2\eta_0)$（其自身证明与 Cor B.5 引用均为此向）。记忆法：$\bar\gamma_*(0)=-\bar\alpha$（无标注时是特征值问题）、$\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$（全钉死时反而更大——$-\bar\alpha(1-2\eta_0)>-\bar\alpha$），$\bar\gamma_*$ 随 $\lambda$ 递增。
$t_1$ 族 vs $t_2$ 族：$t_1^{\pm}$ 来自 $a+b$（全一方向，密度通道，代入 $\bar d_\tau$）；$t_2^{\pm}$ 来自 $a-b$（符号方向，信号通道，代入 $\bar\alpha$）。谱排序（$\tau>p_{\mathrm{out}}$ ⇒ $\bar d_\tau<\bar\alpha$ ⇒ $t_1^{+}<t_2^{+}$，且 $t_1^{-},t_2^{-}\le0$、$t_1^{+},t_2^{+}\ge0$）下：$\bar\delta_1=-t_2^{+}$（最小，谱隙主角），$\bar\delta_n=\lambda$（最大）。Thm 5.5 的条件数 $1/(-t_2^{+}-\bar\gamma_*)$ 用的是 $t_2^{+}$，不要误取 $t_1$ 族。
$\bar d_\tau$ vs $\bar d$ vs $\bar\alpha$：$\bar d=\frac n2(p_{\mathrm{in}}+p_{\mathrm{out}})$（平均度，浓度 $\sqrt{\bar d}$ 的尺度）；$\bar d_\tau=\bar d-n\tau$（削峰后密度，$t_1$ 族的参数）；$\bar\alpha=\frac n2(p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}})$（信号强度，$t_2$ 族的参数）。三者都出现于 Prop B.2 的同一证明里，读常数时先看下标。
三个 "$B$"：$B=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&a\end{smallmatrix}\big)$（Prop B.1 的 $2\times2$ 矩阵）；DC-SBM 的 $Z\mathbf{B}Z^{\top}$ 连通率矩阵（Ch2/Ch5 记号，本附录写作 $M$）；Prop B.3 的标量 $B=\bar\gamma_*/\mathrm{denom}$（校勘 E7：印刷多一个 $\bar\alpha$）。语境互不相交，但同一页可能接连出现。
$\gamma_*$ vs $\bar\gamma_*$ vs Ch4 的 $\gamma$：$\gamma_*$ 是随机模型的久期方程根（Algorithm 14 实际求解的对象）；$\bar\gamma_*$ 是其平均场对照；Ch4 的 $\gamma$ 是模块度分辨率参数——同名不同物。Prop B.2 的全部工作就是控制 $|\gamma_*-\bar\gamma_*|$。
两种"集中"：$\|A-\mathbb EA\|=O(\sqrt{\bar d}\,)$ 是矩阵集中；$|\gamma_*-\bar\gamma_*|$ 是标量根的扰动。原书 Proposition B.2 试图用 Davis–Kahan 连接两者，但 E3 使其精确闭式界未闭合；项目修订定理因此把两者合并记为 $H$，不把标量集中当成已验证黑箱。
OCR 盯防清单（与 Ch5 一致并扩展）：斜体 $p_{\mathrm{in}}$ 误作 $\rho_{\mathrm{in}}$、$p_{\mathrm{out}}$ 误作 $\varphi_{\mathrm{out}}/\phi_{\mathrm{out}}$；$B=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&a\end{smallmatrix}\big)$ 误作 \binom 且丢元素；$\bar Q\bar\Delta\bar Q^{\top}$ 的 $\bar\Delta$ 误作 $\bar 1$；$\bar b=\lambda\bar Q^{\top}\bar s$ 误作 $\lambda\bar Q^{T_s}$；$\tau>p_{\mathrm{out}}$ 打碎；$\sqrt{\bar d}$ 丢根号。公式冲突时以 OCR + PDF 页面为准（文本层 pdftotext 丢根号与花体）。
$\bar s$ 与 $s$ 的结构差：随机模型 oracle $s$ 的标注位置随机（$P_{\mathcal L}$ 随机）；平均场 $\bar s$ 的标注计数确定（$\eta_1n$ 标对、$\eta_0n$ 标错），且 $\bar Q_{\cdot1}^{\top}\bar s=(\eta_1-\eta_0)n\nu_1$——Lemma B.4 的 $\bar b_1$ 下界全靠这个"净正确率对齐"，$\eta_1=\eta_0$（无信息 oracle）时 $\bar b_1=0$，集中结论失效，与 Thm 5.5 上界在 $\eta_1=\eta_0$ 处爆炸一致。
Cor B.5 的三情形不对称：未标注与标对节点无条件恢复符号；只有标错节点需要 $\lambda<(1-2\eta_0)\bar\alpha\frac{\eta_1-\eta_0}{\eta_1+\eta_0}$。Thm 5.5 的判决只作用于未标注节点，故该阈值不进入定理假设——它是"纠错红利"而非恢复条件。

15. 公式卡片

本章编号公式 (B.1)–(B.3) 共 3 个，加 5 组被正文反复引用的关键未编号公式，归并为 6 张卡片。

F1 — 式 (B.1)（行列式引理应用）：$\det(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}-M)=(t+\lambda)^mt^{n-m}\det\big(I_2-Z^{\top}(tI_n+\lambda P_{\mathcal L})^{-1}ZB\big)$。$n$ 维 → $2\times2$ 的关键一步。证明。

F2 — 式 (B.2) 与 $t_1^{\pm},t_2^{\pm}$（完全分解）：$\det=(t+\lambda)^{m-2}t^{n-m-2}P_1(t)P_2(t)$，$P_{1,2}(t)=t(t+\lambda)-\frac n2(a\pm b)\big(t+\lambda(1-\frac mn)\big)$；$t_1^{\pm},t_2^{\pm}$ 为其根（含判别式 $(\lambda+\frac n2(a\pm b))^2-2(a\pm b)\lambda m$）。重根计数：$0$（$n-m-2$）、$-\lambda$（$m-2$）。证明。

F3 — Cor B.2 谱表（未编号展示式）：$\mathrm{Sp}(\mathbb E\tilde{\mathcal L})=\{-\gamma-t_1^{\pm};-\gamma-t_2^{\pm};-\gamma;-\gamma+\lambda\}$（末尾 "0" 已由重数计数确定为排印赘余），$t_1^{\pm}$ 含 $\bar d_\tau$、$t_2^{\pm}$ 含 $\bar\alpha$。Thm 5.5 条件数 $\|(\mathbb E\tilde{\mathcal L})^{-1}\|=1/(-t_2^{+}-\bar\gamma_*)$ 的出处。证明。

F4 — $C_\lambda(x)$ 与 $\lambda=\infty$ 极限系统（Lemma B.3 证明内）：$C_\lambda(x)=-x^{\top}\mathbb EA_\tau x+\lambda(\bar s-\mathcal Px)^{\top}(\bar s-\mathcal Px)$（单调性论证核心）；极限系统 $(-\mathbb EA_\tau-\bar\gamma_*(\infty)I_n)_{uu}\bar x_u=(\mathbb EA_\tau)_{u\ell}\bar s_\ell$、$\bar x_u^{\top}\bar x_u=n(1-\eta_0-\eta_1)$（手验见 §11）。

F5 — 式 (B.3)（源文集中链的主干）：$|\gamma_*-\bar\gamma_*|\le\sqrt{\bar d}+\frac{27}8(\bar\alpha+\lambda)\cdot\frac{\sum_i|\bar b_i||b_i-\bar b_i|}{\sum_i\bar b_i^2}$。其中 $27/8$ 的推导依赖错误 E3，故该式只作源文定位；项目使用 (B.4-project)、(B.5-project) 与 Ch5 的 $H$ 形式。审计。

F6 — Prop B.3 显式解与标量 $B,C$（未编号）：$x_t-x_f=\frac{2\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}$；$C=\frac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}$；$B=\frac{\bar\gamma_*}{\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*(\lambda-\bar\alpha-\bar\gamma_*)}$（校勘 E7，印刷分子多 $\bar\alpha$）；三情形 $\bar x_i$ 见卡片 B7。Cor B.5 的可用界：$B\ge\frac{1}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}\ge\frac{1-2\eta_0}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}$。证明、符号判据。

16. 文献指引（本附录无 Further Notes，无习题）

附录体例不设 Further Notes 与习题；以下为本附录行内引用的文献，按"读什么、为什么读、与后续章的关系"解读。

Horn & Johnson (2012), Matrix Analysis, §0.8.5 与 §5.8——前者是 Lemma B.1 的 Schur 补公式出处（读 §0.8 即可，矩阵恒等式工具箱）；后者是 Thm 5.5 第 (i) 步线性系统敏感性不等式 $\|\Delta x\|/\|x\|\le\kappa(A)\|\Delta A\|/\|A\|$ 的出处（Ch5 笔记 proof-theorem-5-5 的依赖工具①）。为什么读：本附录把这两条当黑箱，想知道黑箱边界（可逆性、范数相容性）时查这两节。与后续章关系：Ch6/Ch7 的矩阵扰动论证也会复用同一工具书。
Yu, Wang & Samworth (2015)（Davis–Kahan $\sin\Theta$ 定理的可用形式）——Prop B.2 第 4 步的特征向量扰动界 $\|Q_{\cdot i}-\bar Q_{\cdot i}\|_2\le2^{3/2}\|A-\mathbb EA\|/\mathrm{gap}$ 的出处。读法建议：该文 Theorem 2 给的就是"算子范数扰动 ÷ 特征值隙"形式，比经典 Davis–Kahan 更便于直接调用；读完能自行判断本附录第 5 步"排除 $\bar b_i=0$ 特征值后取隙"的处理是否严格（本页校勘 E4 附近）。
Feige & Ofek (2005)（邻接矩阵谱范数浓度）——$\|A-\mathbb EA\|=O(\sqrt{\bar d}\,)$（$\bar d=\Omega(\log n)$）的出处，Prop B.2 第 2 步与 Thm 5.5 第 (i) 步共用。与后续章关系：稀疏区失效与预处理（Le et al., 2017）见 Ch5 笔记定位卡与 Ch4 Thm 4.9。
Avrachenkov & Dreveton (2025), “Almost exact recovery in noisy semi-supervised learning”——与本书 Ch5/App B 同源的正式发表版本，DOI 10.1017/S0269964824000135。正式版新增 Lemma B.7 与条件 $\eta_0n\sqrt{\eta_1+\eta_0}\ll\lambda$，修复 E9；但仍保留 E3，因此不能作为原精确常数链的完整裁决。
Gander et al. (1989)（久期方程求根）——式 (5.19) 显式求根法的出处（Ch5 §5.4.2 已引用）；本附录只用到"最小根 $<\delta_1$"的根几何，求根算法本身不影响理论链。
Mai & Couillet (2018, 2021)（随机矩阵路线，Ch5 Further Notes 第 2 段）——本附录的"平均场 + 浓度 + 隐函数微分"路线的对照技术体系（大维渐近下直接刻画分类函数分布）。读法建议：读完 Prop B.2 后接此线，比较两条路线处理 $\gamma_*$ 随机性的方式。

17. 学习检查表

学完本附录后自查：

[ ] 能复述：四个被 Ch5 引用的结论各自在原证明中的角色，并能说明 (5.22) 因 E3 失效、项目条件数改由真实谱隙 $g$ 控制。
[ ] 能推导：从 Lemma B.1 到 Prop B.1 的完整链条（行列式引理 → $(tI+\lambda P_{\mathcal L})^{-1}$ 分解 → $Z^{\top}Z=\frac n2I_2$ → $\det(I_2-xB)=(1-x(a+b))(1-x(a-b))$ → $P_1,P_2$ 求根），并解释 $t=0,-\lambda$ 端点为何由连续性自动补回。
[ ] 能解释：$t_1$/$t_2$ 两族分别对应密度通道 $\bar d_\tau$ 与信号通道 $\bar\alpha$ 的原因（$B$ 的特征值 $a\pm b$）；为什么 $\tau>p_{\mathrm{out}}$ 蕴含 $\bar\delta_1=-t_2^{+}$。
[ ] 能复现：Lemma B.3 的两端极限论证与 §11 手验卡的代入（$\tau$ 项块平衡消去、左右两端各得 $\bar\alpha(\cdot)Z_i$）；并指出印刷版不等式方向为何必错（校勘 E1）。
[ ] 能画出：Prop B.2 的源文证明骨架，并指出 E3 为什么错误、(B.4-project) 如何给出有效谱隙，以及正式论文 Lemma B.7 如何在新增条件下关闭 E9。
[ ] 能推导：Prop B.3 的三元方程组消元（$x_t-x_f=\frac{2\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}$ 起）与 Cor B.5 三情形符号核对；能说明校勘 E7（$B$ 的 $\bar\alpha$ 因子）的两条独立证据。
[ ] 能辨析：$\bar d_\tau/\bar d/\bar\alpha$ 三个尺度；$\gamma_*/\bar\gamma_*/$Ch4 分辨率参数 $\gamma$；矩阵集中（Feige–Ofek）与标量集中（Prop B.2）的层次差。
[ ] 能定位：Cor B.5 情形 (iii) 的阈值为何不进入 Thm 5.5；E2 已由重数计数关闭，E3 由项目谱隙下界取代，E9 由 2025 正式论文 Lemma B.7 在新增条件下关闭。

18. 后续衔接

Ch5 回填已完成：App B 依赖定位卡、源文证明审计与谱隙显式修订版已同步。
译文对账：内部译文 已落盘，proof-link 锚点按本页顶部注释清单对账（6 个完整证明、1 个源文证明审计、1 个源文证明与条件补全，另有 1 个 proof-check）；OCR 异常按清单 §7 与本页 §14 第 7 条订正。
专题深入：随机矩阵对照路线（Mai & Couillet，§16 第 6 条）；Davis–Kahan 系统处理（Yu et al., 2015）；稀疏区预处理（Le et al., 2017，与 Ch4 Thm 4.9、Ch5 定位卡三处互参）。
第 6/7 章：Temporal Networks 与 Sampling 单元不再使用本附录的结论；本附录的工具（行列式引理、久期方程根几何、Davis–Kahan）属通用随机矩阵工具箱，后续章若再现谱扰动论证可回指本页 §7 背景。
最终边界：E3 已由项目谱隙下界取代，E9 已由正式论文 Lemma B.7 在新增条件下关闭；原书/正式论文仍含 E3，因此其 Proposition B.2 与 Theorem 5.5 的原精确闭式常数不认证。项目发布时以“带勘误的批判性研读版”表述，不再以模糊的“待确认”结束。