Ch.91 附录 B（定理 5.5 补充引理）：翻译 + 学习笔记

证明目标：$A\in\mathbb R^{n\times n}$ 可逆，$U,V$ 为 $n\times m$ 矩阵，则 $\det(A+UV^{\top})=\det A\,\det(I_m+V^{\top}A^{-1}U)$。

依赖工具：分块矩阵三角分解；Schur 补行列式公式（Horn & Johnson, 2012, §0.8.5）。

证明思路：对同一个 $2\times2$ 分块矩阵按两种次序取行列式：一种分解读出 $\det A\cdot\det(I+V^{\top}A^{-1}U)$，另一种（Schur 补）读出 $\det(A+UV^{\top})$，比较即得。

完整证明： 1. 三角分解：直接验证 $$\begin{pmatrix}A&-U\\ V^{\top}&I\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\ V^{\top}&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&-A^{-1}U\\ 0&I+V^{\top}A^{-1}U\end{pmatrix}.$$ 两端取行列式（分块三角阵的行列式 = 对角块行列式之积）： $$\det\begin{pmatrix}A&-U\\ V^{\top}&I\end{pmatrix}=\det A\,\det\big(I_m+V^{\top}A^{-1}U\big).$$ 2. Schur 补一侧：对同一矩阵以 $I$ 为主块用 Schur 补公式， $$\det\begin{pmatrix}A&-U\\ V^{\top}&I\end{pmatrix}=\det I\,\det\big(A-(-U)I^{-1}V^{\top}\big)=\det(A+UV^{\top}).$$ 3. 比较：两式相等即所证。$\square$

闭合检查：条件只用了 $A$ 可逆（分解中的 $A^{-1}$）；$m\le n$ 不必需。本附录取 $m=2$：$U=-ZB$、$V=Z$（Prop B.1 第 1 步），$n$ 维行列式由此降为 $2\times2$。∎

证明目标：设 $M=ZBZ^{\top}$，$B=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&a\end{smallmatrix}\big)$（OCR 把 $B$ 误排为 \binom 并丢失元素，已按文本层订正），$Z=\big(\begin{smallmatrix}1_{n/2}&0_{n/2}\\0_{n/2}&1_{n/2}\end{smallmatrix}\big)$，$P_{\mathcal L}$ 为前 $m/2$ 与后 $m/2$ 个对角元为 1、其余为 0 的 $n\times n$ 对角阵（$m$ 偶）。则 $$\det\big(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}-M\big)=t^{\,n-m-2}(t+\lambda)^{m-2}(t-t_1^{+})(t-t_1^{-})(t-t_2^{+})(t-t_2^{-}),$$ 其中 $$t_1^{\pm}=\frac12\Big(\frac n2(a+b)-\lambda\pm\sqrt{\big(\lambda+\frac n2(a+b)\big)^2-2(a+b)\lambda m}\Big),\quad t_2^{\pm}=\frac12\Big(\frac n2(a-b)-\lambda\pm\sqrt{\big(\lambda+\frac n2(a-b)\big)^2-2(a-b)\lambda m}\Big).$$

依赖工具：Lemma B.1（矩阵行列式引理）；$B$ 的特征值 $a+b$、$a-b$；多项式连续延拓（原书引 Avrachenkov et al., 2013a）。

证明思路：三步降维。① 行列式引理把 $n\times n$ 行列式写成"对角部分行列式 $\times$ $2\times2$ 行列式"（式 (B.1)）；② 用 $Z^{\top}Z=\frac n2I_2$、$Z^{\top}P_{\mathcal L}Z=\frac m2I_2$ 把 $2\times2$ 部分算成标量 $x$ 乘 $B$ 的形式，$B$ 的两个特征值 $a\pm b$ 使其继续分裂为两个一次因子；③ 把因子整理成二次多项式 $P_1,P_2$（式 (B.2)），其根即 $t_1^{\pm},t_2^{\pm}$；端点 $t=0,-\lambda$ 由连续性补回。

完整证明： 1. 行列式引理（式 (B.1)）：先设 $t\ne-\lambda$ 且 $t\ne0$，则 $tI_n+\lambda P_{\mathcal L}$ 可逆。由 Lemma B.1（取 $A=tI_n+\lambda P_{\mathcal L}$、$U=-ZB$、$V=Z$）： $$\det\big(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}-M\big)=\det(tI_n+\lambda P_{\mathcal L})\,\det\big(I_2-Z^{\top}(tI_n+\lambda P_{\mathcal L})^{-1}ZB\big)=(t+\lambda)^{m}t^{\,n-m}\det\big(I_2-Z^{\top}(tI_n+\lambda P_{\mathcal L})^{-1}ZB\big).\tag{B.1}$$ （$\det(tI_n+\lambda P_{\mathcal L})=(t+\lambda)^mt^{n-m}$：$P_{\mathcal L}$ 恰有 $m$ 个 1。） 2. $2\times2$ 部分的标量化：$P_{\mathcal L}^2=P_{\mathcal L}$ 给出逆的分块表达 $$(tI_n+\lambda P_{\mathcal L})^{-1}=\frac1t(I_n-P_{\mathcal L})+\frac1{t+\lambda}P_{\mathcal L}=\frac1tI_n-\frac{\lambda}{t(t+\lambda)}P_{\mathcal L}.$$ 代入 $Z^{\top}Z=\frac n2I_2$、$Z^{\top}P_{\mathcal L}Z=\frac m2I_2$： $$Z^{\top}\big(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}\big)^{-1}ZB=\Big(\frac1t\cdot\frac n2-\frac{\lambda}{t(t+\lambda)}\cdot\frac m2\Big)B=xB,\qquad x:=\frac n2\,\frac{t+\lambda\big(1-\frac mn\big)}{t(t+\lambda)}.$$ 3. $B$ 的谱分裂：$B=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&a\end{smallmatrix}\big)$ 的特征值为 $a+b$（特征向量 $(1,1)^{\top}$）与 $a-b$（$(1,-1)^{\top}$），故 $$\det\big(I_2-xB\big)=\big(1-x(a+b)\big)\big(1-x(a-b)\big).$$ 4. 整理为 (B.2)：注意 $t(t+\lambda)\big(1-x(a\pm b)\big)=t(t+\lambda)-\frac n2(a\pm b)\big(t+\lambda(1-\frac mn)\big)$。记 $$P_1(t)=t(t+\lambda)-\frac n2(a+b)\Big(t+\lambda\Big(1-\frac mn\Big)\Big),\qquad P_2(t)=t(t+\lambda)-\frac n2(a-b)\Big(t+\lambda\Big(1-\frac mn\Big)\Big),$$ 则 $$\det\big(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}-M\big)=(t+\lambda)^{m-2}t^{\,n-m-2}P_1(t)P_2(t).\tag{B.2}$$ （第 1 步的因子 $(t+\lambda)^mt^{n-m}$ 与两个 $1-x(a\pm b)$ 各约去 $t(t+\lambda)$。）$t\mapsto\det(tI_n+\lambda P_{\mathcal L}-M)$ 连续（甚至解析），故 (B.2) 对 $t=0,-\lambda$ 同样成立（Avrachenkov et al., 2013a）。 5. 求根：$P_1(t)=t^2+\big(\lambda-\frac n2(a+b)\big)t-\frac n2(a+b)\lambda\big(1-\frac mn\big)$，求根公式给出 $$t=\frac12\Big(\frac n2(a+b)-\lambda\pm\sqrt{\big(\frac n2(a+b)-\lambda\big)^2+2n(a+b)\lambda\big(1-\tfrac mn\big)}\Big),$$ 根号内整理：$\big(\frac n2(a+b)-\lambda\big)^2+2n(a+b)\lambda-2(a+b)\lambda m=\big(\lambda+\frac n2(a+b)\big)^2-2(a+b)\lambda m$，即命题陈述的 $t_1^{\pm}$；$P_1(t)=(t-t_1^{+})(t-t_1^{-})$。$P_2$ 同理得 $t_2^{\pm}$（$a+b$ 换 $a-b$）。$\square$

闭合检查：因子计数 $t^{n-m-2}(t+\lambda)^{m-2}P_1P_2$ 总次数 $=(n-m-2)+(m-2)+2+2=n$ ✓；$a+b$ 对应全一方向（密度通道）、$a-b$ 对应符号方向（信号通道）——这是 Cor B.2 中 $\bar d_\tau$ 进 $t_1$、$\bar\alpha$ 进 $t_2$ 的原因。$m=0$ 时退化为 $\det(tI_n-M)=t^{n-2}P_1P_2$，即秩-2 矩阵的谱（$n-2$ 个 0 加两个非零特征值）， sanity check 通过。∎

证明目标：$A$ 为 DC-SBM（$p_{\mathrm{in}}>p_{\mathrm{out}}>0$）的邻接矩阵，$s$ 为预言机，$\lambda,\tau>0$，$\bar d_\tau=\frac n2(p_{\mathrm{in}}+p_{\mathrm{out}})-n\tau$、$\bar\alpha=\frac n2(p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}})$，$A_\tau=A-\tau1_n1_n^{\top}$，$(P_{\mathcal L})_{ii}=1\Leftrightarrow s_i\ne0$。则 $\mathbb E\tilde{\mathcal L}=-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P-\gamma I_n$ 的谱为 $\{-\gamma-t_1^{\pm};\,-\gamma-t_2^{\pm};\,-\gamma;\,-\gamma+\lambda\}$，其中 $$t_1^{\pm}=\frac12\Big(\bar d_\tau-\lambda\pm\sqrt{(\lambda+\bar d_\tau)^2-4\bar d_\tau\lambda(\eta_1+\eta_0)}\Big),\qquad t_2^{\pm}=\frac12\Big(\bar\alpha-\lambda\pm\sqrt{(\lambda+\bar\alpha)^2-4\bar\alpha\lambda(\eta_1+\eta_0)}\Big).$$

依赖工具：Prop B.1；平均场结构 $\mathbb EA_\tau=ZMZ^{\top}$（$Z$ 两列块指示，$M=\big(\begin{smallmatrix}p_{\mathrm{in}}-\tau&p_{\mathrm{out}}-\tau\\p_{\mathrm{out}}-\tau&p_{\mathrm{in}}-\tau\end{smallmatrix}\big)$）。

完整证明： 1. 平均场的秩-2 形：2 块对称平均场下 $\mathbb EA=Z\big(\begin{smallmatrix}p_{\mathrm{in}}&p_{\mathrm{out}}\\p_{\mathrm{out}}&p_{\mathrm{in}}\end{smallmatrix}\big)Z^{\top}$，而 $\tau1_n1_n^{\top}=Z\big(\begin{smallmatrix}\tau&\tau\\\tau&\tau\end{smallmatrix}\big)Z^{\top}$（$1_n=Z(1,1)^{\top}$），故 $\mathbb EA_\tau=ZMZ^{\top}$ 恰为 Prop B.1 的设定，$a=p_{\mathrm{in}}-\tau$、$b=p_{\mathrm{out}}-\tau$。平均场标注数 $m=n(\eta_0+\eta_1)$。 2. 代入 Prop B.1：$\frac n2(a+b)=\frac n2(p_{\mathrm{in}}+p_{\mathrm{out}})-n\tau=\bar d_\tau$，$\frac n2(a-b)=\bar\alpha$；判别式项 $2(a+b)\lambda m=2(a+b)\lambda n(\eta_0+\eta_1)=4\bar d_\tau\lambda(\eta_0+\eta_1)$（同理 $t_2$）。于是 $t_1^{\pm},t_2^{\pm}$ 化为陈述中的形式。 3. 读谱：$\det(\mathbb E\tilde{\mathcal L}-xI_n)=\det\big((-\gamma-x)I_n+\lambda\mathcal P-\mathbb EA_\tau\big)$，令 $t=-\gamma-x$，零点即 $t\in\{t_1^{\pm},t_2^{\pm},0,-\lambda\}$（按 Prop B.1 的重数：$0$ 为 $n-m-2$ 重、$-\lambda$ 为 $m-2$ 重），即 $x\in\{-\gamma-t_1^{\pm},-\gamma-t_2^{\pm},-\gamma,-\gamma+\lambda\}$。$\square$

闭合检查：特征值合计 $(n-m-2)+(m-2)+4=n$ 个 ✓。$\gamma=0$ 时得 $-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P$ 的谱 $\{-t_1^{\pm},-t_2^{\pm},0,\lambda\}$——这是 Lemma B.4 与 Prop B.2 中 $\bar\delta_i$ 的取值池；谱排序（$\tau>p_{\mathrm{out}}$ ⇒ $\bar d_\tau<\bar\alpha$ ⇒ $t_1^{+}<t_2^{+}$ ⇒ $\bar\delta_1=-t_2^{+}$，且 $-t_1^{-},-t_2^{-}\ge0$、$\lambda>0$）见 §14 第 2 条。

校勘提示（E2，确定关闭）：原书谱列表印作 $\{-\gamma-t_1^{\pm};\,-\gamma-t_2^{\pm};\,-\gamma;\,-\gamma+\lambda;\,0\}$，末尾多一个 "0"。按 Prop B.1 的因式分解、证明中的根以及重数 $(n-m-2)+(m-2)+4=n$，该项只能是排印赘余；校正读法为删除它。本笔记按无 "0" 的计数书写，译文保留源列表以便追溯。

证明目标：$\bar\gamma_*$ 为平均场模型下式 (5.19) 的解。则 $$-\bar\alpha\ \le\ \bar\gamma_*\ \le\ -\bar\alpha(1-2\eta_0).$$

校勘提示（E1，确定印刷笔误）：原书印作 $-\bar\alpha(1-2\eta_0)\le\bar\gamma_*\le-\bar\alpha$；但 $\eta_0\in(0,\tfrac12)$ 时 $-\bar\alpha(1-2\eta_0)>-\bar\alpha$，印刷区间为空。原书自己的证明（$\bar\gamma_*(0)=-\bar\alpha$、$\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$、$\bar\gamma_*(\lambda)$ 单调）与 Corollary B.5 证明中的引用（"we have $-\bar\alpha\le\bar\gamma_*\le-\bar\alpha(1-2\eta_0)$"）都是本卡的方向。本笔记按修正版书写。

依赖工具：$\lambda=0$ 时 (5.17) 退化为特征值问题；$\lambda\to\infty$ 时退化为硬约束极限系统（fp210 无编号展示式）；cost function $C_\lambda(x)$ 的比较论证。

证明思路：两步（原书明示 "the proof is in two steps"）。第一步算两端：$\lambda=0$ 端是 $-\mathbb EA_\tau$ 的最小特征值问题；$\lambda=\infty$ 端标注节点被钉死，只剩 $u$ 上的系统，可手验显式解。第二步用 cost 比较证明 $\lambda\mapsto\bar\gamma_*(\lambda)$ 单调，两端值即区间端点。

完整证明： 1. $\lambda=0$ 端：(5.17) 退化为 $(-\mathbb EA_\tau-\gamma I_n)x=0$、$\|x\|^2=n$——特征值问题，最小 $\gamma$ 即 $-\mathbb EA_\tau$ 的最小特征值。平均场下 $-\mathbb EA_\tau$ 的非零特征值为 $-\bar d_\tau$（全一方向）与 $-\bar\alpha$（符号方向）；$\tau>p_{\mathrm{out}}$ ⇒ $\bar d_\tau<\bar\alpha$ ⇒ 最小特征值为 $-\bar\alpha$，故 $\bar\gamma_*(0)=-\bar\alpha$。（$\tau\le p_{\mathrm{out}}$ 时端点应换为 $-\min\{\bar d_\tau,\bar\alpha\}$；Thm 5.5 全程设 $\tau>p_{\mathrm{out}}$。） 2. $\lambda=\infty$ 端：硬约束 $x_\ell=\bar s_\ell$ 生效，(5.17) 化为 $$\begin{cases}(-\mathbb EA_\tau-\bar\gamma_*(\infty)I_n)_{uu}\,\bar x_u=(\mathbb EA_\tau)_{u\ell}\,\bar s_\ell\\ \bar x_u^{\top}\bar x_u=n(1-\eta_0-\eta_1)\end{cases}$$ 原书 "we verify by hand that $\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$ together with $\bar x_u=Z_u$ is indeed the solution"——代入验算见 §11 补证卡。 3. 单调性：记 $(\bar x_\lambda,\bar\gamma_*(\lambda))$ 为 (5.17) 在平均场下的解。由 (5.17) 与 Ch5 推导（deriv-ssl-map-relaxation 第 4 步同型计算），对 $\lambda_1,\lambda_2\ge0$ 有 $$\bar\gamma_*(\lambda_1)-\bar\gamma_*(\lambda_2)=C_{\lambda_1}(\bar x_1)-C_{\lambda_2}(\bar x_2)+\lambda_1\bar x_1^{\top}\bar s-\lambda_2\bar x_2^{\top}\bar s.$$ $\lambda\mapsto C_\lambda(x)$ 对每个 $x$ 递增 ⇒ $\lambda_1\le\lambda_2$ 时 $C_{\lambda_1}(\bar x_1)\le C_{\lambda_2}(\bar x_2)$；又 $\bar x_\lambda^{\top}\bar s\ge0$（否则 $C_\lambda(-\bar x_\lambda)\le C_\lambda(\bar x_\lambda)$，与 $\bar x_\lambda$ 为最小解矛盾——翻转 $x$ 的符号不改变二次项与约束，却增大贴合项）。代入上式：$\lambda_1\le\lambda_2$ ⇒ $\bar\gamma_*(\lambda_1)\le\bar\gamma_*(\lambda_2)$。 4. 合并：$\bar\gamma_*(0)=-\bar\alpha\le\bar\gamma_*(\lambda)\le\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$。$\square$

闭合检查：修正后的区间非空当且仅当 $\eta_0\le1/2$。$\eta_0=0$ 时区间退化为 $\bar\gamma_*=-\bar\alpha$。本引理可用于 Cor B.5 的 $B,C$ 控制，但不能推出原书 (5.22)；条件数改由 (B.4-project) 闭合。∎

证明目标：$\gamma_*$、$\bar\gamma_*$ 分别为 DC-SBM 与平均场 DC-SBM 上式 (5.17) 的解（即各自久期方程 (5.19) 的最小根）。则 $$|\gamma_*-\bar\gamma_*|\ \le\ \Big(1+\frac{27(\bar\alpha+\lambda)^3}{\sqrt2\,\sqrt{\eta_1+\eta_0}\,(\eta_1-\eta_0)\,\bar\alpha^2\lambda}\Big)\sqrt{\bar d}.$$

依赖工具：久期方程 (5.19) 对参数 $(\delta_i,b_i)$ 的隐函数微分；Weyl 特征值扰动不等式；DC-SBM 邻接矩阵集中界 $\|A-\mathbb EA\|=O(\sqrt{\bar d}\,)$（$\bar d=\Omega(\log n)$，Feige & Ofek, 2005）；Davis–Kahan 特征向量扰动（Yu et al., 2015）；Corollary B.2（$\bar\delta_i$ 的显式值）；Lemma B.3（$\bar\gamma_*$ 的区间）；Lemma B.4（$\bar b_1$ 下界与 $\bar b_i=0$ 判据）。

证明思路：把久期方程 $F(\delta,b,\gamma)=\sum_i(b_i/(\delta_i-\gamma))^2-n=0$ 对扰动 $\Delta\delta_i=\delta_i-\bar\delta_i$、$\Delta b_i=b_i-\bar b_i$、$\Delta\gamma=\gamma_*-\bar\gamma_*$ 做一阶展开，解出 $\Delta\gamma$ =（特征值扰动项）+（特征向量扰动项）（式 (B.3)）；第一项用 Weyl + Feige–Ofek 集中界压成 $\sqrt{\bar d}$，第二项的 $\Delta b_i=\lambda(Q_{\cdot i}-\bar Q_{\cdot i})^{\top}\bar s$ 用 Cauchy–Schwarz + Davis–Kahan 压成"集中界 × 1/特征值隙"，分母 $\sum_i\bar b_i^2$ 用 Lemma B.4 的 $\bar b_1$ 下界托底。

源文推导复核： 1. 隐函数微分：久期方程左端对 $(\bar\delta_1,\dots,\bar\delta_n,\bar b_1,\dots,\bar b_n,\gamma)$ 的梯度方向展开为 $$2\sum_{i=1}^n\frac{\bar b_i}{\bar\delta_i-\bar\gamma_*}\Big[\frac{\Delta b_i}{\bar\delta_i-\bar\gamma_*}-\frac{\bar b_i\,\Delta\delta_i}{(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^2}+\frac{\bar b_i\,\Delta\gamma}{(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^2}\Big],$$ 由 $F=0$ 在两模型间的一阶差分得 $$\Delta\gamma\sum_{i=1}^n\frac{\bar b_i^2}{(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^3}=\sum_{i=1}^n\frac{\bar b_i^2}{(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^3}\,\Delta\delta_i-\sum_{i=1}^n\frac{\bar b_i}{(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^2}\,\Delta b_i+o(\Delta\delta_i,\Delta b_i).$$ （注意 $\bar\gamma_*<\bar\delta_1$，分母 $\bar\delta_i-\bar\gamma_*>0$，三次方项为正。） 2. 特征值扰动项：对所有 $i$，$|\Delta\delta_i|\le\|A-\mathbb EA\|\le\sqrt{\bar d}$（Weyl 不等式 + Feige–Ofek 集中界；文本层丢根号，按 OCR 与下一行 $\sqrt{\bar d}$ 订正）。提出主项： $$|\Delta\gamma|\le\max_i|\delta_i-\bar\delta_i|+\frac{\max_i(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^3}{\min_i(\bar\delta_i-\bar\gamma_*)^2}\cdot\frac{\sum_i|\bar b_i|\cdot|b_i-\bar b_i|}{\sum_i\bar b_i^2}.$$ 3. 隙的两侧界：$\min_i|\bar\delta_i-\bar\gamma_*|=\bar\delta_1-\bar\gamma_*$（因 $\bar\gamma_*<\bar\delta_1$，$\bar\delta_i-\bar\gamma_*$ 随 $i$ 递增）。原书断言由 Lemma B.3 与 Cor B.2 得 $$\min_i|\bar\delta_i-\bar\gamma_*|\ \ge\ \bar\alpha+\lambda.\qquad(\ast)$$ 【确定性错误 E3；项目替代见 (B.4-project)】 另一侧：$\max_i|\bar\delta_i-\bar\gamma_*|=\bar\delta_n-\bar\gamma_*=\bar\delta_n-\bar\delta_1+\bar\delta_1-\bar\gamma_*$；Cor B.2 给出 $\bar\delta_n=\lambda$、$\bar\delta_1=\frac12\big(\lambda-\bar\alpha-\sqrt{(\lambda+\bar\alpha)^2-4\bar\alpha\lambda(\eta_0+\eta_1)}\big)$，故 $\bar\delta_n-\bar\delta_1\le\bar\alpha+\lambda$；又由 Lemma B.3（修正向 $\bar\gamma_*\ge-\bar\alpha$）$\bar\delta_1-\bar\gamma_*\le\bar\delta_1+\bar\alpha\le\frac{\bar\alpha+\lambda}{2}$，合得 $$\max_i|\bar\delta_i-\bar\gamma_*|\le\frac32(\bar\alpha+\lambda).$$ （此侧成立：$\bar\delta_n-\bar\delta_1=\frac12\big(\lambda+\bar\alpha+\sqrt{(\lambda+\bar\alpha)^2-4\bar\alpha\lambda(\eta_0+\eta_1)}\big)\le\lambda+\bar\alpha$ ✓，$\bar\delta_1+\bar\alpha=\frac12\big(\lambda+\bar\alpha-\sqrt{\cdots}\big)\le\frac{\lambda+\bar\alpha}{2}$ ✓。）若 $(\ast)$ 成立，则 $$|\gamma_*-\bar\gamma_*|\ \le\ \sqrt{\bar d}+\frac{27}{8}(\bar\alpha+\lambda)\cdot\frac{\sum_i|\bar b_i|\cdot|b_i-\bar b_i|}{\sum_i\bar b_i^2}.\tag{B.3}$$ 4. 特征向量扰动项：$b_i-\bar b_i=\lambda(Q_{\cdot i}-\bar Q_{\cdot i})^{\top}\bar s$，Cauchy–Schwarz 给出 $$|b_i-\bar b_i|\le\lambda\,\|Q_{\cdot i}-\bar Q_{\cdot i}\|_2\cdot\|\bar s\|,\qquad \|\bar s\|=\sqrt{(\eta_0+\eta_1)n}.$$ Davis–Kahan（Yu et al., 2015）：$\|Q_{\cdot i}-\bar Q_{\cdot i}\|_2\le\dfrac{2^{3/2}\|A-\mathbb EA\|}{\min\{\bar\delta_i-\bar\delta_{i-1},\bar\delta_{i+1}-\bar\delta_i\}}$，与集中界合并得 $$\max_{i\in\mathcal I}|b_i-\bar b_i|\ \le\ \frac{\lambda\sqrt{(\eta_0+\eta_1)n}}{\min_{i\in\mathcal I}\{\bar\delta_i-\bar\delta_{i-1},\bar\delta_{i+1}-\bar\delta_i\}}\cdot2^{3/2}\sqrt{\bar d},\qquad \mathcal I=\{i:\bar b_i\ne0\}.$$ 5. 特征值隙下界：由 Lemma B.4，$\mathcal I=\{i:\bar\delta_i\notin\{0,-t_1^{-}\}\}$（原书印刷 $\{0,t_1^{-}\}$，$\bar\delta$ 取值池中应为 $-t_1^{-}$）。结合 Cor B.2 的谱，原书写 $$\min_{i\in\mathcal I}\{\bar\delta_i-\bar\delta_{i-1},\bar\delta_{i+1}-\bar\delta_i\}=\lambda+t_2^{+}\;\;(\textbf{应为 }\lambda+t_2^{-}\text{，校勘 E4})=\frac{\bar\alpha+\lambda}{2}\Big(1-\sqrt{1-4\frac{\bar\alpha\lambda}{(\bar\alpha+\lambda)^2}(\eta_0+\eta_1)}\Big)\ \ge\ \frac{\bar\alpha\lambda}{\bar\alpha+\lambda}(\eta_0+\eta_1),$$ 末步用 $\sqrt{1-x}\le1-x/2$。（隙的解读：在 $\bar b_i=0$ 的特征值 $0,-t_1^{-}$ 被排除后，剩余特征值间最小的相邻差为 $\lambda-(-t_2^{-})=\lambda+t_2^{-}$；代数验证 $\lambda+t_2^{-}=\frac12\big(\bar\alpha+\lambda-\sqrt{(\bar\alpha+\lambda)^2-4\bar\alpha\lambda(\eta_0+\eta_1)}\big)$ ✓，与原书展开式一致——故原书记号 "$t_2^{+}$" 系笔误。） 6. $\sum\bar b_i^2$ 托底（E9）：原书链 $$\sum_i\bar b_i^2\ \ge\ \Big(\sum_i|\bar b_i|\Big)^2\ \ge\ |\bar b_1|\sum_i|\bar b_i|\ \ge\ \sqrt n\,\frac{\eta_1-\eta_0}{2}\,\frac{\bar\alpha\lambda}{\lambda+\bar\alpha}\sum_i|\bar b_i|,$$ 末步用 Lemma B.4 的 $\bar b_1$ 下界。【第一个 "$\ge$" 方向错误。正式论文已用新增 Lemma B.7 绕开该链，但要求 $\eta_0n\sqrt{\eta_1+\eta_0}\ll\lambda$；见校勘提示 (c) 与 (B.5-project)。】 若机械接受原书链，则 $$\frac{\sum_i|\bar b_i|\cdot|b_i-\bar b_i|}{\sum_i\bar b_i^2}\ \le\ \frac{2^{5/2}}{(\eta_1-\eta_0)\sqrt{\eta_1+\eta_0}}\,\frac{(\bar\alpha+\lambda)^2}{\bar\alpha^2\lambda}\,\sqrt{\bar d}.$$ 7. 合并：代回 (B.3)，$\frac{27}{8}(\bar\alpha+\lambda)\cdot\frac{2^{5/2}(\bar\alpha+\lambda)^2}{(\eta_1-\eta_0)\sqrt{\eta_1+\eta_0}\,\bar\alpha^2\lambda}=\frac{27(\bar\alpha+\lambda)^3}{\sqrt2\,\sqrt{\eta_1+\eta_0}\,(\eta_1-\eta_0)\,\bar\alpha^2\lambda}$（$2^{5/2}/8=1/\sqrt2$），得命题陈述。$\square$

闭合检查：E9 已由正式论文 Lemma B.7 在新增条件下局部关闭；E3 在正式论文中仍然存在，故原 Proposition B.2 的精确常数形式仍不能认证。项目不再把“可能稳健的 $O(\sqrt{\bar d})$”写成已证结论，而是在 Ch5 修订定理中保留 $H=|\gamma_*-\bar\gamma_*|+\|A-\mathbb EA\|$。若未来获得不依赖 E3 的根集中界，可直接代入 $H$，无需改动误分类计数链。

校勘提示 (b)（E3：min 隙 "$\ge\bar\alpha+\lambda$"）：该步与久期方程根几何直接冲突。数值例 $\bar\alpha=\lambda=10$、$\eta_0=0.02$、$\eta_1=0.08$ 给出隙约 $[0.11,0.51]$，而 $\bar\alpha+\lambda=20$。正式发表版本仍保留这个错误。项目不再等待“唯一恢复原常数”，而采用 (B.4-project) 的一般严格下界；仅在 $\eta_0+\eta_1\le\tfrac12$ 时使用其因子 2 简式。

校勘提示 (c)（E9：$\sum\bar b_i^2$ 托底链）：印刷链第一步方向错误。正式论文的 Lemma B.7 按 $\lambda$ 特征空间分解 $\bar b$，用误标集合大小控制其 $\ell_1$ 质量，直接得到 (B.5-project)；因此在新增条件 $\eta_0n\sqrt{\eta_1+\eta_0}\ll\lambda$ 下，E9 已关闭。该修复不依赖也不修复 E3。

证明目标：设 $-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P=\bar Q\bar\Delta\bar Q^{\top}$（$\bar\Delta=\mathrm{diag}(\bar\delta_1,\dots,\bar\delta_n)$，$\bar Q^{\top}\bar Q=I_n$；文本层把 $\bar\Delta$ 误排为 $\bar 1$，按 OCR 订正），$\bar b=\lambda\bar Q^{\top}\bar s$，并令 $\rho=\eta_0+\eta_1<1$。无隐藏条件的版本为 $$\frac{\bar b_1}{\sqrt n}\ \ge\ \frac{\lambda\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)(1-\rho)}{\lambda+\bar\alpha(1-\rho)}.$$ 若再有 $\rho\le\tfrac12$，可推出原书使用的简式 $$\bar b_1\ \ge\ \sqrt n\,\frac{\lambda(\eta_1-\eta_0)}{2}\,\frac{\bar\alpha}{\lambda+\bar\alpha}.$$ 此外，当 $\bar\delta_i=0$ 或 $\bar\delta_i=-t_1^{-}$ 时 $\bar b_i=0$。

依赖工具：Corollary B.2（$\bar\delta_1=-t_2^{+}$ 与 $0$ 特征值的重数）；平均场块平衡（$\tau$ 项在对称向量上为零）；$\bar s$ 的结构（标注点上 $\bar s_i=\pm Z_i$，$\eta_1n$ 个标对、$\eta_0n$ 个标错）。

证明思路：三个小结论分三步。① 第一特征向量按对称性只取两个值（$\ell$ 上 $\nu_1Z_i$、$u$ 上 $\nu_0Z_i$），特征方程压成二元方程组，归一化解出 $\nu_1,\nu_0$；② $\bar b_1=\lambda\bar Q_{\cdot1}^{\top}\bar s=\lambda(\eta_1-\eta_0)n\nu_1$，代入 $\nu_1$，先用 $t_2^+\ge\bar\alpha(1-\rho)$ 得一般下界，再在 $\rho\le\tfrac12$ 时化为原书的因子 2 简式；③ $-t_1^{-}$ 与 $0$ 的特征向量分别由"$\ell/u$ 上取常值（无 $Z_i$ 因子）"和"支撑于 $u$"的对称性直接与 $\bar s$ 正交。

源文证明与条件补全： 1. 第一特征向量的对称设参：由 Cor B.2，$\bar\delta_1=-t_2^{+}=-\frac12\big(\bar\alpha-\lambda+\sqrt{(\lambda+\bar\alpha)^2-4\bar\alpha\lambda(\eta_1+\eta_0)}\big)$（$\tau>p_{\mathrm{out}}$ ⇒ $\bar d_\tau<\bar\alpha$ ⇒ $t_1^{+}<t_2^{+}$ ⇒ $-t_2^{+}$ 最小 ✓）。模型在"块内同类节点可交换"下对称，故 $\bar Q_{\cdot1}$ 的第 $i$ 分量只依赖（块标签 $Z_i$，是否被标注），设为 $$\bar Q_{i1}=\begin{cases}\nu_1 Z_i,&i\in\ell,\\ \nu_0 Z_i,&i\notin\ell.\end{cases}$$ （$\mathbb EA_\tau$ 作用在此类向量上：$(\mathbb EA_\tau v)_i=\bar\alpha\big((\eta_1+\eta_0)\nu_1+(1-\eta_1-\eta_0)\nu_0\big)Z_i$——块内求和 $\sum_{j\in\ell}Z_jv_j=|\ell|\nu_1$、$\sum_{j\notin\ell}Z_jv_j=|u|\nu_0$，$\tau1_n1_n^{\top}$ 项因 $\sum_j v_j=0$（块平衡）消去。） 2. 二元方程组与显式解：特征方程 $(-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P)\bar Q_{\cdot1}=\bar\delta_1\bar Q_{\cdot1}$ 在 $u$ 行与 $\ell$ 行分别给出 $$-\bar\alpha S=-t_2^{+}\nu_0,\qquad -\bar\alpha S+\lambda\nu_1=-t_2^{+}\nu_1,\qquad S:=(\eta_1+\eta_0)\nu_1+(1-\eta_1-\eta_0)\nu_0,$$ 即 $\bar\alpha S=t_2^{+}\nu_0=\nu_1(t_2^{+}+\lambda)$，故 $\nu_1/\nu_0=t_2^{+}/(t_2^{+}+\lambda)$。归一化 $\|\nu\|_2=1$（$|\ell|\nu_1^2+|u|\nu_0^2=1$）解出 $$\nu_1=\frac1{\sqrt n}\frac{t_2^{+}}{\sqrt{(\eta_1+\eta_0)(t_2^{+})^2+(1-\eta_1-\eta_0)(t_2^{+}+\lambda)^2}},\qquad \nu_0=\frac1{\sqrt n}\frac{t_2^{+}+\lambda}{\sqrt{(\eta_1+\eta_0)(t_2^{+})^2+(1-\eta_1-\eta_0)(t_2^{+}+\lambda)^2}}.$$

校勘提示（E6，确定印刷笔误）：原书展示式印作 $\bar\alpha S=-t_2^{+}\nu_0$ 与 $\bar\alpha S+\lambda\nu_1=-t_2^{+}\nu_1$（$\bar\alpha(\cdots)$ 项缺负号）。按印刷版，右端 $-t_2^{+}\nu_0<0$ 而左端 $\bar\alpha S>0$（$\nu_1,\nu_0>0$），自相矛盾；修正版（$\bar\alpha S=t_2^{+}\nu_0=\nu_1(t_2^{+}+\lambda)$）与原书给出的显式解 $\nu_1,\nu_0$ 相容（比值 $\nu_1/\nu_0=t_2^{+}/(t_2^{+}+\lambda)$ ✓）。本卡按修正版书写。

3. $\bar b_1$ 的下界：$\bar b_1=\lambda\bar Q_{\cdot1}^{\top}\bar s=\lambda\sum_i\bar Q_{i1}\bar s_i$。平均场预言机：$\ell$ 上 $\bar s_i=\pm Z_i$（$\eta_1n$ 个 $+Z_i$、$\eta_0n$ 个 $-Z_i$），$u$ 上 $\bar s_i=0$，故 $$\sum_i\bar Q_{i1}\bar s_i=\nu_1(\eta_1n-\eta_0n)=(\eta_1-\eta_0)n\nu_1\ \Longrightarrow\ \bar b_1=\lambda(\eta_1-\eta_0)n\nu_1,$$ $$\frac{\bar b_1}{\sqrt n}=\lambda(\eta_1-\eta_0)\,\frac{t_2^{+}}{\sqrt{(\eta_1+\eta_0)(t_2^{+})^2+(1-\eta_1-\eta_0)(t_2^{+}+\lambda)^2}}.$$ 分母不超过 $t_2^++\lambda$，故 $$\frac{\bar b_1}{\sqrt n}\ge\lambda(\eta_1-\eta_0)\frac{t_2^+}{t_2^++\lambda}.$$ 把正根有理化： $$t_2^+=\frac{2\bar\alpha\lambda(1-\rho)}{\sqrt{(\bar\alpha+\lambda)^2-4\bar\alpha\lambda\rho}+\lambda-\bar\alpha}\ge\bar\alpha(1-\rho),$$ 其中分母至多为 $2\lambda$。由于 $t\mapsto t/(t+\lambda)$ 单调递增，得到一般下界 $$\frac{\bar b_1}{\sqrt n}\ge \frac{\lambda\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)(1-\rho)}{\lambda+\bar\alpha(1-\rho)}.$$ 若 $\rho\le\tfrac12$，则 $$\frac{\bar\alpha(1-\rho)}{\lambda+\bar\alpha(1-\rho)}\ge\frac{\bar\alpha}{2(\lambda+\bar\alpha)},$$ 从而恢复原书使用的简式。

注记（E8，隐藏条件已补全）：原书以 $t_2^{+}\ge\bar\alpha/2$ 直接推出因子 2 简式；该步并非对全部参数自动成立。项目先给出含 $1-\rho$ 的一般下界，再把 $\rho\le1/2$ 明列为简化式的充分条件，因此不再把隐藏条件带入 E3 修复。

4. $-t_1^{-}$ 特征向量与 $\bar s$ 正交：与 $-t_1^{-}$ 对应的特征向量 $\nu'$ 按对称性在 $\ell$ 上取常值 $\nu'_\ell$、在 $u$ 上取常值 $\nu'_u$（不带 $Z_i$ 因子——$t_1$ 族来自密度通道/全一方向）。于是 $(\nu')^{\top}\bar s=\nu'_\ell\sum_{i\in\ell}\bar s_i+\nu'_u\cdot0=\nu'_\ell\big((\eta_1-\eta_0)\tfrac n2-(\eta_1-\eta_0)\tfrac n2\big)=0$（两块标对与标错数对称相消），故对应 $\bar b_i=\lambda(\nu')^{\top}\bar s=0$。
5. $0$ 特征空间与 $\bar s$ 正交：令 $I_0=\{i:\bar\delta_i=0\}$。由 Cor B.2，$|I_0|=n(1-\eta_1-\eta_0)-2$；同时 $0$ 也是提取子矩阵 $(-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P)_{u,u}=(-\mathbb EA_\tau)_{u,u}$ 的 $n(1-\eta_0-\eta_1)-2$ 重特征值（$\mathbb EA_\tau$ 在 $u$ 上的秩至多为 2）。故 $0$ 特征空间的特征向量支撑于 $u$：对 $k\in I_0$，$\bar Q_{ik}=0$ 对每个 $i\in\ell$ 成立——而 $\bar s$ 支撑于 $\ell$，所以 $\bar b_k=\lambda\bar Q_{\cdot k}^{\top}\bar s=0$。$\square$

校勘提示（E5，确定印刷笔误）：原书末段印作 "we have for all $k\in I_0$, $\bar Q_{ik}=0$ for every $i\in[n]$"——字面读法使特征向量为零向量，不可能；按上下文（提取子矩阵的秩论证）应为 "for every $i\in\ell$"（$0$ 特征向量在标注坐标上为零、支撑于未标注集 $u$）。本卡按修正版书写。

闭合检查：三环各自闭合——$\bar b_1$ 下界（第 1–3 步，核心是 $\bar Q_{\cdot1}$ 与 $\bar s$ 的"同号对齐"：$\nu_1>0$ 且 $\bar s$ 的净符号为 $(\eta_1-\eta_0)Z$，$\eta_1>\eta_0$ 即 Assumption 5.1 在此进入）；$-t_1^{-}$ 正交（密度通道特征向量不含 $Z_i$，$\bar s$ 的块内和为零）；$0$ 正交（支撑集不相交）。Prop B.2 第 5、6 步分别调用第 5 步（$\mathcal I$ 的刻画）与第 3 步（$\bar b_1$ 下界）。∎

证明目标：设 $\tau>p_{\mathrm{out}}$。平均场 DC-SBM 上式 (5.18) 的解 $\bar x$ 的第 $i$ 个元素为 $$\bar x_i=\begin{cases}C\big(-1+(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha B\big)\,Z_i,&i\in\ell\text{ 且 }s_i\ne Z_i,\\ C\big(1+(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha B\big)\,Z_i,&i\in\ell\text{ 且 }s_i=Z_i,\\ \dfrac{-\bar\alpha C}{\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*}\,(\eta_1-\eta_0)\big(1+(\eta_1+\eta_0)\bar\alpha B\big)\,Z_i,&i\notin\ell,\end{cases}$$ 其中 $\bar\alpha=\frac n2(p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}})$，$C=\dfrac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}$，以及（按校勘 E7 的修正形） $$B=\frac{\bar\gamma_*}{\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*(\lambda-\bar\alpha-\bar\gamma_*)}.$$

校勘提示（E7 之一，确定印刷笔误）：原书 $B$ 的分子印作 $\bar\alpha\bar\gamma_*$（多一个 $\bar\alpha$ 因子）。两条独立证据：① 命题自身推导（下方第 4 步）在 $x_t,x_f$ 中得到的组合是 $(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha\bar\gamma_*/\mathrm{denom}$——若 $B$ 含 $\bar\alpha$，则陈述的 "$(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha B$" 会双重计入 $\bar\alpha$；② Cor B.5 使用的下界 $B\ge(1-2\eta_0)/(\lambda(\eta_0+\eta_1))$ 只对无 $\bar\alpha$ 版本成立（数值：$\bar\alpha=\lambda=10$、$\eta_0=0.02$、$\eta_1=0.08$、$\bar\gamma_*=-9.8$ 时，印刷版 $|B|=16.2$，远超其宣称上界 $1/(\lambda(\eta_0+\eta_1))=1$；修正版 $B=1.62$，落在可用范围）。本卡按修正版书写。

依赖工具：平均场结构（$(\mathbb EA_\tau\bar x)_i$ 只依赖三类节点的取值）；$\tau>p_{\mathrm{out}}$ 保证分母符号。

证明思路：三类节点（未标注 / 标对 / 标错）上的对称性把 $\bar x_i$ 写成 $x_0Z_i$、$x_tZ_i$、$x_fZ_i$ 三个未知量；系统 $(-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P-\bar\gamma_*I_n)\bar x=\lambda\bar s$ 逐行代入后压成三元线性方程组，消元即得。

完整证明： 1. 对称设参：模型在"同类节点可交换"下对称，故 $$\bar x_i=\begin{cases}x_tZ_i,&i\in\ell\text{ 且 }\bar s_i=Z_i,\\ x_fZ_i,&i\in\ell\text{ 且 }\bar s_i=-Z_i,\\ x_0Z_i,&i\notin\ell,\end{cases}$$ $x_0,x_t,x_f$ 待定。 2. $\mathbb EA_\tau$ 的作用：对每个 $i\in[n]$， $$(\mathbb EA_\tau\bar x)_i=\bar\alpha\big(x_0(1-\eta_1-\eta_0)+x_t\eta_1+x_f\eta_0\big)\,Z_i.$$ （$(\mathbb EA\bar x)_i=\bar\alpha Z_i\cdot\frac1n\sum_jZ_j\bar x_j$；$\frac1n\sum_jZ_j\bar x_j=\frac1n\big(|u|x_0+|\ell_1|x_t+|\ell_0|x_f\big)=(1-\eta_1-\eta_0)x_0+\eta_1x_t+\eta_0x_f$；$\tau1_n1_n^{\top}$ 项因 $\sum_j\bar x_j=x_0\sum_{j\notin\ell}Z_j+x_t\sum_{\ell_1}Z_j+x_f\sum_{\ell_0}Z_j=0$（块平衡）消去。） 3. 三元方程组：把 $\big((-\mathbb EA_\tau+\lambda\mathcal P-\bar\gamma_*I_n)\bar x\big)_i=\lambda\bar s_i$ 按三类行写出（未标注 / 标对 / 标错）： $$\begin{cases}-\bar\alpha\big((1-\eta_1-\eta_0)x_0+\eta_1x_t+\eta_0x_f\big)-\bar\gamma_*x_0=0,\\ -\bar\alpha\big((1-\eta_1-\eta_0)x_0+\eta_1x_t+\eta_0x_f\big)-\bar\gamma_*x_t+\lambda x_t=\lambda,\\ -\bar\alpha\big((1-\eta_1-\eta_0)x_0+\eta_1x_t+\eta_0x_f\big)-\bar\gamma_*x_f+\lambda x_f=-\lambda,\end{cases}$$ 等价改写（第一行解出 $x_0$ 代入后两行）： $$\begin{cases}x_0=\dfrac{-\bar\alpha}{\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*}\,(\eta_1x_t+\eta_0x_f),\\ \bar\gamma_*x_0+x_t(\lambda-\bar\gamma_*)=\lambda,\\ \bar\gamma_*x_0+x_f(\lambda-\bar\gamma_*)=-\lambda.\end{cases}$$ 4. 消元：后两行相减得 $x_t-x_f=\dfrac{2\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}$；在第三行中依次消去 $x_0$ 与 $x_t$，得 $$x_f=\frac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}\Big(-1+\frac{\bar\alpha\bar\gamma_*(\eta_1-\eta_0)}{\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\lambda\bar\gamma_*-\bar\gamma_*(\bar\alpha+\bar\gamma_*)}\Big),$$ $$x_t=\frac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}\Big(1+\frac{\bar\alpha\bar\gamma_*(\eta_1-\eta_0)}{\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\lambda\bar\gamma_*-\bar\gamma_*(\bar\alpha+\bar\gamma_*)}\Big),$$ $$x_0=\frac{-\bar\alpha}{\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*}\cdot\frac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}\Big(1+\frac{\bar\alpha\bar\gamma_*(\eta_1+\eta_0)}{\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\lambda\bar\gamma_*-\bar\gamma_*(\bar\alpha+\bar\gamma_*)}\Big).$$ （核对：$x_0$ 由第一行 $\eta_1x_t+\eta_0x_f=\frac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}\big((\eta_1-\eta_0)+(\eta_1+\eta_0)\cdot\frac{\bar\alpha\bar\gamma_*(\eta_1-\eta_0)}{\mathrm{denom}}\big)=\frac{\lambda(\eta_1-\eta_0)}{\lambda-\bar\gamma_*}\big(1+\frac{(\eta_1+\eta_0)\bar\alpha\bar\gamma_*}{\mathrm{denom}}\big)$ 提出公因子即得上式。） 5. 整理：注意 $\mathrm{denom}=\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*(\lambda-\bar\alpha-\bar\gamma_*)$；记 $C=\frac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}$ 与修正形 $B=\frac{\bar\gamma_*}{\mathrm{denom}}$，则 $\frac{\bar\alpha\bar\gamma_*(\eta_1\pm\eta_0)}{\mathrm{denom}}=(\eta_1\pm\eta_0)\bar\alpha B$，代回即命题陈述的三情形公式。$\square$

闭合检查：分母 $\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*$ 的符号由 Lemma B.3（修正向 $\bar\gamma_*\le-\bar\alpha(1-2\eta_0)$）控制：$\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*\le\bar\alpha(\eta_0-\eta_1)<0$——$\tau>p_{\mathrm{out}}$ 经 Lemma B.3 的适用条件进入此处，是 Cor B.5 符号判据的第一块骨牌。三情形的公共结构：$\bar x_i=(\text{正/负标量})Z_i$，符号分析全部归结到括号内因子的符号——这正是 Cor B.5 的入手点。∎

证明目标：设 $\tau>p_{\mathrm{out}}$。则 $\mathrm{sign}(\bar x_i)=\mathrm{sign}(Z_i)$ 在以下三情形成立： - (i) 节点 $i$ 未被预言机标注； - (ii) 节点 $i$ 被预言机标对； - (iii) 节点 $i$ 被预言机标错，且 $\lambda<(1-2\eta_0)\bar\alpha\dfrac{\eta_1-\eta_0}{\eta_1+\eta_0}$。

（OCR 把条件 $\tau>p_{\mathrm{out}}$ 打碎为 "$\tau>_{p_{\mathrm{out}}}$t"，按文本层订正。）

依赖工具：Prop B.3 的显式解；Lemma B.3（修正向 $-\bar\alpha\le\bar\gamma_*\le-\bar\alpha(1-2\eta_0)$）。

完整证明：判决规则 (5.16) 下节点 $i$ 被正确分类当且仅当 $\mathrm{sign}(\bar x_i)=\mathrm{sign}(Z_i)$。由 Lemma B.3（修正向），Prop B.3 中的标量满足 $C=\frac{\lambda}{\lambda-\bar\gamma_*}\ge0$（$\bar\gamma_*<0$），且修正形 $B$ 满足 $$B\ \ge\ \frac{1}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}\ \ge\ \frac{1-2\eta_0}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}.$$ （下界证明：写 $g=-\bar\gamma_*\in[\bar\alpha(1-2\eta_0),\bar\alpha]$、$D'=-\mathrm{denom}=g(\lambda-\bar\alpha+g)-\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)$（在所考虑的参数情形下 $D'>0$），则 $B=g/D'$ 且 $$B-\frac{1}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}=\frac{(\bar\alpha-g)\big(\lambda(1-\eta_0-\eta_1)+g\big)}{\lambda(\eta_0+\eta_1)\,D'}\ge0,$$ 因 $g\le\bar\alpha$；且 $B$ 作为 $g$ 的函数递减（$\frac{\mathrm dB}{\mathrm dg}=\frac{-g^2-\lambda\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)}{D'^2}<0$），故 $B\ge B|_{g=\bar\alpha}=\frac{1}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}$。） 分三情形核对 Prop B.3 的公式： - (i) 未标注：$\bar x_i=\dfrac{-\bar\alpha C}{\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*}(\eta_1-\eta_0)\big(1+(\eta_1+\eta_0)\bar\alpha B\big)Z_i$。$\bar\alpha(1-\eta_1-\eta_0)+\bar\gamma_*\le\bar\alpha(\eta_0-\eta_1)<0$（Lemma B.3 修正向）⇒ 前置因子 $>0$；$B>0$ ⇒ 括号 $>0$；$\eta_1>\eta_0$（Assumption 5.1）。故 $\mathrm{sign}(\bar x_i)=\mathrm{sign}(Z_i)$。 - (ii) 标对：$\bar x_i=C\big(1+(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha B\big)Z_i$，括号 $>0$（$B>0$），符号 $=\mathrm{sign}(Z_i)$。 - (iii) 标错：$\bar x_i=C\big(-1+(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha B\big)Z_i$；由 $B\ge\frac{1-2\eta_0}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}$， $$(\eta_1-\eta_0)\bar\alpha B\ \ge\ \frac{(1-2\eta_0)\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}\ >\ 1\ \Longleftrightarrow\ \lambda<(1-2\eta_0)\bar\alpha\,\frac{\eta_1-\eta_0}{\eta_1+\eta_0},$$ 条件成立时括号 $>0$，符号 $=\mathrm{sign}(Z_i)$。$\square$

闭合检查：三情形恰好覆盖 Thm 5.5 第 (ii) 步所需——判决只作用于未标注节点（情形 (i) 恒成立，无额外条件），故平均场解本身即给出正确标签；情形 (iii) 是"平滑纠错"的定量阈值（与 Ch5 图 5.8 中 Algorithm 14 能纠正标错节点的实验现象呼应；$\lambda$ 越小预言机贴合越弱、平滑越占优）。条件的使用位置：$\tau>p_{\mathrm{out}}$ 经 Lemma B.3 适用条件进入；Assumption 5.1 以 $\eta_1>\eta_0$ 进入每条符号链。∎

校勘提示（E7 之二，印刷上界方向反了，且不被使用）：原书断言 "$C\ge0$ and $\frac{1-2\eta_0}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}\le B\le\frac{1}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}$"。按修正形 $B$，上界方向实为 $B\ge\frac{1}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}$（见上方证明中的严格推导；数值示例 $B=1.62>1$）。三个情形的论证只用到下界 $B\ge\frac{1-2\eta_0}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}$（它由 $B\ge\frac{1}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}\ge\frac{1-2\eta_0}{\lambda(\eta_0+\eta_1)}$ 推出），故推论的结论不受影响——受影响的是原书排印的双侧界本身。

原文留白："and we verify by hand that $\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$ together with $\bar x_u=Z_u$ is indeed the solution."（文件页 210 / 印刷页 201）——作者仅声明手验结果，未给代入过程。

验证目标：$\bar x_u=Z_u$（即 $\bar x_i=Z_i$，$i\in u$）与 $\bar\gamma_*(\infty)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$ 满足 $\lambda=\infty$ 极限系统 $$\begin{cases}(-\mathbb EA_\tau-\bar\gamma_*(\infty)I_n)_{uu}\,\bar x_u=(\mathbb EA_\tau)_{u\ell}\,\bar s_\ell,\\ \bar x_u^{\top}\bar x_u=n(1-\eta_0-\eta_1).\end{cases}$$

依赖工具：平均场块平衡（每块各 $n/2$；$u$、$\ell$ 在两块间均分，$\sum_{j\in u}Z_j=0$、$\sum_{j\in\ell}\bar s_j=0$）；$(\mathbb EA v)_i=\bar\alpha Z_i\cdot\frac1n\sum_jZ_jv_j$。

完整验算： 1. $\tau$ 项消去：$(\tau1_n1_n^{\top})_{uu}\bar x_u$ 的第 $i$ 分量 $=\tau\sum_{j\in u}Z_j=0$；右端 $\tau$ 项同理 $=\tau\sum_{j\in\ell}\bar s_j=\tau\big((\eta_1-\eta_0)\frac n2-(\eta_1-\eta_0)\frac n2\big)=0$（标对与标错在两块间对称）。故 $\mathbb EA_\tau$ 可换为 $\mathbb EA$。 2. 左端：$(\mathbb EA\bar x)_i=\bar\alpha Z_i\cdot\frac1n\sum_{j\in u}Z_j\cdot Z_j=\bar\alpha Z_i\cdot\frac{|u|}n=\bar\alpha(1-\eta_0-\eta_1)Z_i$（$j\in u$ 时 $\bar x_j=Z_j$，$Z_j^2=1$）。故 $$\big((-\mathbb EA_\tau-\bar\gamma_*I_n)_{uu}\bar x_u\big)_i=-\big(\bar\alpha(1-\eta_0-\eta_1)+\bar\gamma_*\big)\,Z_i.$$ 3. 右端：$((\mathbb EA)_{u\ell}\bar s_\ell)_i=\bar\alpha Z_i\cdot\frac1n\sum_{j\in\ell}Z_j\bar s_j=\bar\alpha Z_i\cdot\frac1n(\eta_1-\eta_0)n=\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)Z_i$（$\bar s_j=\pm Z_j$ 按标对/标错，$\frac1n\sum_{j\in\ell}Z_j\bar s_j=\eta_1-\eta_0$）。 4. 比较：$-\big(\bar\alpha(1-\eta_0-\eta_1)+\bar\gamma_*\big)=\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)$ ⇒ $\bar\gamma_*=-\bar\alpha(1-\eta_0-\eta_1)-\bar\alpha(\eta_1-\eta_0)=-\bar\alpha(1-2\eta_0)$ ✓。 5. 范数约束：$\bar x_u^{\top}\bar x_u=\sum_{i\in u}Z_i^2=|u|=n(1-\eta_0-\eta_1)$ ✓，与系统第二式自动吻合（这正是 $\bar x_u=Z_u$ 被选为试探解的原因）。$\square$

闭合检查：代入两端均为 $Z_i$ 的倍数且系数相等，约束自动满足——验证闭合。直观读法：$\lambda\to\infty$ 时标注节点被钉死（$\bar x_\ell=\bar s_\ell$），未标注节点的平均场解就是真实标签本身，代价是乘子从 $-\bar\alpha$ 移到 $-\bar\alpha(1-2\eta_0)$；$1-2\eta_0=(1-\eta_0-\eta_1)+(\eta_1-\eta_0)$ 正是"$u$ 的占比 + 标注净正确率"两块贡献之和（第 2、3 步）。∎