Ch.2H 超图表示与随机模型：正文 + 学习笔记

第 2H 章学习笔记：超图表示与随机超图模型

章节性质：这是项目补充正文的配套学习笔记，承接第 2 章的随机图模型，并为后续的超图中心性、社区发现、半监督学习、时间网络和抽样建立共同语言。

内容概览：笔记展开对象、表示、随机基线、simple HSBM、Poisson DCHSBM、四条推断路线和恢复术语，并逐项解读一个代表性谱恢复定理。

1. 本章主线：先决定观测单位，再谈算法

第 2 章把网络写成随机图，每个潜在节点对对应一个边变量。超图模型把候选关系扩展到节点集合，同时改变数据表示、独立性假设、参数规模和可恢复性。

2. 贯穿例子：一个五节点混合阶超图

令

$$ V=\{1,2,3,4,5\},\qquad \mathcal E=\{e_1,e_2,e_3\}, $$

其中

$$ e_1=\{1,2\},\qquad e_2=\{1,2,3\},\qquad e_3=\{3,4,5\}, $$

取 $w(e_1)=w(e_2)=w(e_3)=1$。$e_1$ 是二元事件，$e_2,e_3$ 是三元事件，因此这是一个非均匀简单超图。

2.1 关联矩阵在保留事件列时保留全部超边身份

用 $B$ 表示节点—超边关联矩阵，行对应节点、列对应超边：

$$ B= \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \tag{2H.1} $$

节点的未加权关联度和超边大小分别为

$$ (d_1,d_2,d_3,d_4,d_5)=(2,2,2,1,1),\qquad (\delta_1,\delta_2,\delta_3)=(2,3,3). \tag{2H.2} $$

$d_i$ 是节点 $i$ 参加的超边数，$\delta_e=|e|$ 是超边 $e$ 包含的节点数。

2.2 团投影便于计算，但会合并事件来源

最直接的共现投影为

$$ A^{\mathrm{raw}}_{uv}=\sum_{e\in\mathcal E}B_{ue}B_{ve},\qquad u\ne v. \tag{2H.3} $$

在例子中，节点对 $\{1,2\}$ 同时出现在 $e_1$ 和 $e_2$，所以 $A^{\mathrm{raw}}_{12}=2$；而 $A^{\mathrm{raw}}_{13}=1$。投影记录了共现次数，却不再告诉我们“$\{1,2\}$ 的两次共现分别来自一条二元事件和一条三元事件”。

若希望每条权重为 $w(e)$ 的超边对其中每个节点贡献总图度 $w(e)$，并假设此处所有超边大小至少为 2，可使用

$$ A^{\mathrm{cl}}_{uv} =\sum_{e\in\mathcal E:\,u,v\in e}\frac{w(e)}{\delta(e)-1}, \qquad u\ne v. \tag{2H.4} $$

此时例子中 $A^{\mathrm{cl}}_{12}=1+\frac12=\frac32$，$A^{\mathrm{cl}}_{13}=A^{\mathrm{cl}}_{23}=\frac12$，并且投影图的加权度仍为 $(2,2,2,1,1)$。式 (2H.3) 与式 (2H.4) 都是常见的 clique projection；报告结果时同时写明权重与归一化口径。

2.3 星形展开把“事件”显式变成第二类节点

星形展开（star expansion）构造二部图

$$ G_\star=(V\sqcup\mathcal E,E_\star), \qquad E_\star=\{(v,e):v\in e\}. $$

五节点例子中的二部边为

$$ \begin{aligned} E_\star=\{& (1,e_1),(2,e_1),\\ & (1,e_2),(2,e_2),(3,e_2),\\ & (3,e_3),(4,e_3),(5,e_3)\}. \end{aligned} $$

若节点排在前、超边节点排在后，该二部图的邻接矩阵就是分块矩阵

$$ A_\star= \begin{pmatrix} 0&B\\ B^T&0 \end{pmatrix}. $$

从每个超边节点的邻居集合可以原样恢复 $e_1,e_2,e_3$，因此星形展开保留事件身份。图中同时存在“参与者”和“事件”两类节点，算法与结果解释需保留这一类型信息。

更一般地，给定已指定“实体侧” $V$ 与“事件侧” $U$ 的二部图，可令

$$ e_u=N(u)\cap V, \qquad \mathcal E^\sharp=(e_u)_{u\in U}. \tag{2H.4a} $$

这里使用带索引族 $(e_u)_{u\in U}$。不同事件节点可以拥有相同邻域，对应成员完全相同但身份不同的重复事件；事件节点只有一个邻居时，对应单节点事件。保留事件列后，二部图与带索引超边族在事件节点重命名意义下可以互相恢复。实体侧与事件侧的语义也随表示一同保存；交换两侧得到相应的对偶关联对象。

下面的项目算例取 $a=d=\{1,2,4\}$、$b=\{2\}$、$c=\{2,3\}$。矩阵中 $a,d$ 两列相同，但仍代表两个事件槽。若把列去重并只保留大小至少为 2 的交互，结果只剩 $\{1,2,4\}$ 与 $\{2,3\}$；从这两条超边不可能恢复原来的四个事件槽。

2.4 单个三阶张量无法无损容纳二元超边

若只保留三元子超图 $\{e_2,e_3\}$，Cooper–Dutle 归一化邻接张量可写为

$$ \mathcal A_{ijk}= \begin{cases} \dfrac{1}{2},&\{i,j,k\}\in\{e_2,e_3\},\\ 0,&\text{其他情形}. \end{cases} \tag{2H.5} $$

因每条三元超边有 $3!$ 个排列，而固定首个指标后有 $(3-1)!=2$ 个排列，归一化 $1/2$ 使其余两个指标的求和恰好恢复该节点在三元子超图中的未加权关联度。二元超边 $e_1$ 可通过分阶保存、空节点扩充或专门的非均匀张量约定纳入分析；所选约定决定后续算法接收的信息。

张量的特征方程不是普通矩阵方程。对 $d$ 阶 Cooper–Dutle 邻接张量，特征对满足

$$ \mathcal A x^{d-1}=\lambda x^{[d-1]}, \qquad (\mathcal A x^{d-1})_i =\sum_{i_2,\ldots,i_d}\mathcal A_{ii_2\cdots i_d}x_{i_2}\cdots x_{i_d}. \tag{2H.5a} $$

最小例子是只有超边 $\{1,2,3\}$ 的三元超图。取 $x=(1,1,1)^T$，则

$$ (\mathcal A x^2)_1 =\tfrac12x_2x_3+\tfrac12x_3x_2=1=x_1^2, $$

其余坐标同理，所以 $(\lambda,x)=(1,\mathbf1)$。这里的两项正对应固定首指标后的两个排列。一般张量特征值问题仍按多项式方程组求解；本例仅用于展示归一化。

3. 超图对象与观测语义

超图是否合适，取决于一条超边是否对应一个不可再分的观测单位。三位作者共同完成一篇论文、五名参与者同时进入一次会议、若干商品出现在同一购物篮，都天然给出节点集合。相反，若数据只记录“谁给谁发了一条消息”，即使许多人属于同一群聊，原始事件仍可能是有向节点对。

还要区分“直接观测超边”和“先构造超边”。作者表或多人收件人通常直接给出参与者集合；由位置轨迹、脑信号或阈值化相似性得到的群体事件，则把时间窗、阈值和识别算法带进了观测机制。对后一类数据，应随 $H$ 一同保存构造规则、敏感性结果和前级识别的不确定性。

部分文献把 $|V|$ 称为 hypergraph order、把 $|\mathcal E|$ 称为 hypergraph size。本笔记统一使用“节点数 $n$”“超边数 $M$”“超边大小 $|e|$”与“秩”。

3.1 超图不等于单纯复形

单纯复形要求向下闭合：若 $\{1,2,3\}$ 是一个 2-单形，则它的所有子集也必须在复形中。超图没有这一要求。观测到三人会议并不自动意味着三场两人会议也发生过。

这一区分影响概率模型：在独立超边模型中，$\{1,2,3\}$ 出现与 $\{1,2\}$ 出现可以是两个不同的 Bernoulli 变量；在单纯复形中，前者出现会强制后者存在，独立性随即被破坏。

3.2 “高阶”不只意味着节点数大于二

一条三元超边提供了三元观测单位；动力学中的不可约三体作用则取决于状态更新函数能否分解为成对作用之和。结构超边与高阶动力学是两个层次的对象。

3.3 建模前的四项体检

对非均匀简单超图，先按超边大小分层。令 $\mathcal E_r=\{e\in\mathcal E:|e|=r\}$，并记 $\mathcal E_{\ge2}=\bigcup_{r\ge2}\mathcal E_r$；对交互层有

$$ \rho_r=\frac{|\mathcal E_r|}{\binom nr}, \qquad d_r(v)=\sum_{e\in\mathcal E_r}\mathbf1\{v\in e\}, \qquad d_{\ge2,0}(v)=\sum_{r\ge2}d_r(v), \qquad d_0(v)=d_1(v)+d_{\ge2,0}(v). $$

在选择模型前至少画出或汇报四项量：分阶与总节点关联度、超边大小分布、分阶密度序列 $(\rho_r)$，以及超边重叠；若同一节点集合可以重复出现，再额外检查权重或重数。它们分别对应“谁在哪类事件中活跃”“事件通常有多大”“不同阶数有多稀疏”和“事件是否反复围绕相同成员形成”。

若最大允许大小 $R$ 由研究设计预先给定，可以写

$$ \rho_{\le R} =\frac{|\mathcal E_{\ge2}|}{\sum_{r=2}^{R}\binom nr} =\frac{\sum_{r=2}^{R}|\mathcal E_r|}{\sum_{r=2}^{R}\binom nr}. $$

总体密度适用于研究设计预先固定最大允许大小 $R$ 的情形。它把不同阶数放在同一分母，并假定 $r>R$ 的超边不在候选空间；单节点事件以 $|\mathcal E_1|$ 单独报告。若用样本最大值定义 $R$，分母会随观测极值改变，跨数据集比较也会改变。贯穿例子中 $\mathcal E_1=\varnothing$，所以 $d_0=d_{\ge2,0}$；其 $\rho_2=1/10$、$\rho_3=2/10$，预先限制 $R=3$ 时总体密度为 $3/20$。Matias (2026, §3.1) 给出分阶密度及这一口径，本节将其整理为预检清单。

4. 四种表示：保存的信息与计算形式

令 $B\in\{0,1\}^{|V|\times|\mathcal E|}$ 为关联矩阵，$B_{ve}=\mathbf 1\{v\in e\}$。由它定义

$$ d(v)=\sum_{e\in\mathcal E}w(e)B_{ve},\qquad d_0(v)=\sum_{e\in\mathcal E}B_{ve},\qquad \delta(e)=\sum_{v\in V}B_{ve}=|e|. \tag{2H.6} $$

这里 $d_0(v)$ 计数不同事件，$d(v)$ 累计事件权重；仅当所有 $w(e)=1$ 时二者相同。后面的无权随机超图记号 $D_i$ 指 $d_0(i)$。

4.1 二部表示何时无损，二部模型又固定了什么

二部 SBM 还加入事件侧潜在类别。令 $Z_v\overset{\mathrm{iid}}{\sim}\operatorname{Categorical}(\pi)$、$C_u\overset{\mathrm{iid}}{\sim}\operatorname{Categorical}(\eta)$，跨两侧的连接概率为 $\Theta_{qs}$，并假设给定 $(Z,C)$ 后所有 $(X_{vu})$ 条件独立。则固定事件槽 $u$ 同时包含给定 $r$ 个节点的概率为

$$ \mathbb P(X_{i_1u}=\cdots=X_{i_ru}=1\mid Z) =\sum_{s=1}^{S}\eta_s\prod_{t=1}^{r}\Theta_{q_t s}. \tag{2H.4c} $$

这是有限个乘积项的混合。若要求该事件槽的邻域恰好是这 $r$ 个节点，还需加入所有其他节点不连接的因子；投到简单超图时还需处理多个槽产生相同邻域的情况。一般 HSBM 可直接给每种标签多重集一个对称概率参数，并不要求它具有式 (2H.4c) 的乘积混合结构。

Matias (2026, §§3.2, 4.1) 区分表示可逆性与随机模型等价性；简单/重复超边、固定事件槽和 bipartite SBM 乘积约束见 Brusa and Matias (2024, Supplement A.1–A.3)。式 (2H.4c) 按该模型重新记号化，表示事件槽的共同包含概率；simple HSBM 则直接定义候选超边出现概率。

4.2 事件线图与重叠宽度

团投影保留原节点，事件线图则把每条超边当作节点。令

$$ O_{ef}=|e\cap f|\mathbf1\{e\ne f\}, \qquad O=B^TB-\operatorname{diag}(|e_1|,\ldots,|e_M|). $$

无权线图只记录 $O_{ef}>0$，加权线图保留重叠数量但仍不知道具体共享哪些节点。进一步令 $\mathcal E_{\ge k}=\{e:|e|\ge k\}$，定义 $k$-线图 $L_k(H)$：它以 $\mathcal E_{\ge k}$ 中的事件为节点，当且仅当 $O_{ef}\ge k$ 时连接 $e,f$。长度为 $\ell$ 的 $k$-walk 是 $\mathcal E_{\ge k}$ 中的序列 $e_{i_0},\ldots,e_{i_\ell}$，其中每对相邻超边至少共享 $k$ 个节点；最短长度给出超边间 $k$-distance，不连通时为 $\infty$。

贯穿例子满足 $|e_1\cap e_2|=2$、$|e_2\cap e_3|=1$、$|e_1\cap e_3|=0$。所以 $L_1(H)$ 是路径 $e_1-e_2-e_3$，而 $L_2(H)$ 只保留 $e_1-e_2$，使 $e_3$ 孤立。$k$ 控制的是事件链的最小“重叠宽度”，不是普通图路径长度的另一种写法。

Matias (2026, §3.1) 用重叠宽度刻画高阶路径；严格的 edge-level $k$-walk、$k$-line graph 与距离口径采用 Aksoy et al. (2020, Definitions 5 and 7, Proposition 1)。以下统一讨论超边层路径。

4.3 一个实用选择规则

1. 需要回溯“哪一次事件包含哪些节点”时，保留关联矩阵或星形展开。
2. 只需节点间扩散、邻近或图算法基线时，可使用明确归一化的投影图。
3. 数据本身是固定阶交互，且方法需要多线性结构时，使用邻接张量。
4. 非均匀超图采用分阶张量，或明确给出统一阶数的扩充规则。

5. 随机超图基线

5.1 Bernoulli 模型 $H_d(n,p)$

固定 $V=[n]$ 和 $d\ge2$。对每个候选 $d$-节点集合 $e\in\binom{V}{d}$，独立采样

$$ X_e\sim\operatorname{Bernoulli}(p),\qquad \mathcal E=\{e:X_e=1\}. \tag{2H.7} $$

所得模型记为 $H_d(n,p)$。超边总数满足

$$ |\mathcal E|\sim\operatorname{Binomial}\!\left(\binom nd,p\right), \qquad \mathbb E|\mathcal E|=\binom ndp. \tag{2H.8} $$

若希望 $n\to\infty$ 时平均关联度保持常数量级，应取

$$ p_n=\Theta(n^{-(d-1)}). \tag{2H.10} $$

这正是图模型 $p_n=\Theta(1/n)$ 在 $d$-均匀超图中的对应标度。

5.2 固定超边数模型 $H_d(n,M)$

$H_d(n,M)$ 从全部 $\binom nd$ 条候选超边中均匀抽取 $M$ 条。此时每个节点的关联度不再是二项分布，而是超几何分布：

$$ D_i\sim\operatorname{Hypergeometric}\!\left( \binom nd,\binom{n-1}{d-1},M \right), \qquad \mathbb E D_i=\frac{dM}{n}. \tag{2H.11} $$

$H_d(n,p)$ 让超边数随机，$H_d(n,M)$ 把超边数固定；这与 $G(n,p)$ 和 $G(n,M)$ 的关系完全平行。

5.3 非均匀独立超边模型

若允许超边大小属于集合 $\mathcal R\subseteq\{2,3,\ldots,M_0\}$，可令不同大小的候选超边独立出现：

$$ X_e\sim\operatorname{Bernoulli}(p_{|e|}),\qquad \mathbb E D_i=\sum_{r\in\mathcal R}\binom{n-1}{r-1}p_r. \tag{2H.13} $$

要让每个阶数对平均关联度贡献常数量级，通常取 $p_r=\Theta(n^{-(r-1)})$。不同阶数会共同影响分量增长，因此不能把式 (2H.12) 的单一 $d$ 直接替换成最大秩 $M_0$。

5.4 软度约束：超图 $\boldsymbol\beta$-model

同质模型只给同一阶的所有候选集合一个概率。若要让节点有不同活跃度，同时保留候选超边独立性，可对 $e\in\binom Vr$ 设

$$ \mathbb P_{\boldsymbol\beta}(X_e=1) =\frac{\exp(\sum_{i\in e}\beta_{r,i})} {1+\exp(\sum_{i\in e}\beta_{r,i})}. \tag{2H.13b} $$

忽略常数，第 $r$ 层对数似然为

$$ \ell_r(\boldsymbol\beta_r) =\sum_i\beta_{r,i}d_r(i) -\sum_{e\in\binom Vr}\log\!\left[1+\exp\!\left(\sum_{i\in e}\beta_{r,i}\right)\right]. \tag{2H.13c} $$

因此数据只通过分阶关联度序列进入，$(d_r(i))_i$ 是该指数族的充分统计量。极大似然方程匹配观测度与期望度，但模拟出的度不必逐项等于观测值；configuration 模型则在固定度与超边大小的状态空间内随机化。前者是软边际控制，后者是硬边际控制。

一个四节点三元例子足以看出参数意义。令 $\beta_{3,1}=\log2$，其余为 0，则包含节点 1 的候选三元组出现概率为 $2/3$，不含节点 1 的 $\{2,3,4\}$ 出现概率为 $1/2$。概率差来自节点活跃度而非社区。Matias (2026, §4.2) 给出模型地图；公式与充分统计量表述依据 Nandy and Bhattacharya (2024, Definition 1.1 and Eqs. (2.2)–(2.3))。该文用 $\ell$ 表示负对数似然，这里改写为正对数似然，因而整体符号相反。

6. 关联矩阵、随机游走与归一化拉普拉斯

令 $D_v=\operatorname{diag}(d(v))$、$D_e=\operatorname{diag}(\delta(e))$、$W=\operatorname{diag}(w(e))$，并假设没有孤立节点。Zhou, Huang, and Schölkopf (2006) 定义两阶段随机游走：

1. 当前位于节点 $u$ 时，以 $w(e)/d(u)$ 选择一条包含 $u$ 的超边 $e$；
2. 在 $e$ 中均匀选择下一个节点 $v$，允许 $v=u$。

于是

$$ P_{uv}=\sum_{e\in\mathcal E} \frac{w(e)B_{ue}}{d(u)}\frac{B_{ve}}{\delta(e)}, \qquad P=D_v^{-1}BWD_e^{-1}B^T. \tag{2H.14} $$

回到五节点例子。节点 3 同时属于 $e_2$ 和 $e_3$，且两条超边权重均为 1，所以第一阶段各以概率 $1/2$ 选中它们；第二阶段在所选三元超边内以概率 $1/3$ 选节点。因此从节点 3 出发的一步分布为

$$ P_{3,\bullet} =\left(\frac16,\frac16,\frac13,\frac16,\frac16\right). $$

其中 $P_{33}=1/3$ 来自经 $e_2$ 或 $e_3$ 返回节点 3 的两条路径。这个计算同时说明了为什么 Zhou 游走允许自环概率，以及关联矩阵的列为何不能在投影前被随意合并。

每行和为 1，且平稳分布为

$$ \pi(v)=\frac{d(v)}{\operatorname{vol}(V)}, \qquad \operatorname{vol}(V)=\sum_{u\in V}d(u). \tag{2H.15} $$

对应的对称归一化拉普拉斯为

$$ L_H=I-D_v^{-1/2}BWD_e^{-1}B^TD_v^{-1/2}. \tag{2H.16} $$

7. Simple Bernoulli HSBM：把潜在群组写进超边概率

令 $V=[n]$，允许超边大小 $r=2,\ldots,M_0$。对节点标签假设

$$ Z_i\overset{\mathrm{iid}}{\sim}\operatorname{Categorical}(\pi_1,\ldots,\pi_Q). \tag{2H.19} $$

对每个无序、互异节点集合 $e=\{i_1,\ldots,i_r\}$，定义 $Y_e=\mathbf1\{e\in\mathcal E\}$。给定标签后，各潜在超边条件独立，且

$$ Y_e\mid Z \sim\operatorname{Bernoulli}\!\left( \mathsf P^{(r)}_{Z_{i_1},\ldots,Z_{i_r}} \right). \tag{2H.20} $$

$\mathsf P^{(r)}$ 是关于指标排列对称的 $r$ 阶概率张量。这是 Brusa and Matias (2024) 的 simple nonuniform HSBM 核心：超边内部不允许重复节点，同一节点集合只有“出现/不出现”两种状态。概率张量记为 $\mathsf P^{(r)}$，关联矩阵记为 $B$。

7.1 Affiliation 子模型

最简单的社区模型只区分“整条超边是否完全位于同一组”：

$$ \mathsf P^{(r)}_{q_1,\ldots,q_r}= \begin{cases} \alpha_r,&q_1=\cdots=q_r,\\ \beta_r,&\text{至少出现两个不同标签}. \end{cases} \tag{2H.22} $$

$\alpha_r>\beta_r$ 表示同群组超边更常见，但一般 HSBM 不要求这种排序，也能表达异配或更复杂的标签组合偏好。

五节点例子可以直接显示随机基线与 HSBM 的差别。若设

$$ (Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5)=(1,1,1,2,2), $$

则三元候选超边 $e_2=\{1,2,3\}$ 完全位于第 1 组，而 $e_3=\{3,4,5\}$ 跨组。在 $H_3(n,p)$ 中二者出现概率同为 $p$；在 affiliation HSBM 中则分别为

$$ \mathbb P(Y_{e_2}=1\mid Z)=\alpha_3, \qquad \mathbb P(Y_{e_3}=1\mid Z)=\beta_3. $$

若不条件于具体标签，一个随机三元候选集合的边际出现概率为

$$ \alpha_3\sum_{q=1}^{Q}\pi_q^3 +\beta_3\left(1-\sum_{q=1}^{Q}\pi_q^3\right). $$

所以 $H_3(n,p)$ 可匹配 HSBM 的总体密度，却不能同时保留“同组”与“跨组”两类条件概率；后者才是社区信号。

式 (2H.24) 暴露了两个事实。第一，即使没有节点级度参数，不同群组比例也会造成期望关联度差异。第二，若 $\alpha_r,\beta_r$ 不随 $n$ 缩小，候选超边数 $\binom{n-1}{r-1}$ 会使模型变得稠密；保持常数平均关联度通常要求 $\mathsf P^{(r)}=O(n^{-(r-1)})$。

7.2 可识别性与参数增长

HSBM 至少存在标签置换不识别：同时重命名所有群组，并按同一置换重排 $\pi$ 和各 $\mathsf P^{(r)}$，观测分布不变。因此聚类损失必须在标签排列后计算。Brusa and Matias (2024) 给出一般条件下的 generic identifiability 结果，但“generic”不表示每个特殊参数点都可识别；例如完全相同的群组连接模式显然无法区分。

全模型中单个 $r$ 阶对称张量含

$$ \binom{Q+r-1}{r} \tag{2H.25} $$

个不同参数。$Q$ 或最大阶 $M_0$ 增大时，参数数目会快速上升；这既是计算问题，也是模型选择问题。

8. Poisson DCHSBM（进阶）：把节点活跃度与群组亲和度分开

Simple HSBM 在同一标签组合内仍把节点视为同质。若某些作者、商品或参与者本身就更活跃，需要节点级参数 $\theta_i$。

Chodrow, Veldt, and Benson (2021) 的 DCHSBM 以多重集合超边为观测空间。令 $\mathcal R_r$ 为总大小恰为 $r$ 的无序节点多重集之集，并固定 $\mathcal R=\bigcup_{r=2}^{M_0}\mathcal R_r$。对 $R\in\mathcal R$，$a_R\in\{0,1,2,\ldots\}$ 是落在该位置上的超边数，$b_R$ 是 $R$ 中节点的不同排列数。给定 $(z,\theta,\Omega)$ 后，计数 $(a_R)_{R\in\mathcal R}$ 相互独立，且

$$ a_R\mid z,\theta,\Omega \sim\operatorname{Poisson}\!\left( b_R\prod_{i\in R}\theta_i\,\Omega(z_R) \right),\qquad R\in\mathcal R. \tag{2H.26} $$

乘积按节点在 $R$ 中的重数计算。$\theta_i$ 控制节点活跃度，$\Omega(z_R)$ 控制标签组合和超边大小的亲和度。对只含互异节点的简单超边，可将 $b_R$ 吸收到按阶定义的 $\Omega$ 中；原模型的样本空间仍包含自重复和多重超边。

原文采用的规范化是

$$ \sum_{i:z_i=q}\theta_i=\operatorname{vol}(q) =\sum_{i:z_i=q}d_i, \tag{2H.28} $$

在固定标签下得到条件极大似然估计 $\widehat\theta_i=d_i$。也可选择每组 $\sum_{i:z_i=q}\theta_i=1$ 等其他规范化；跨规范化比较时，需要先换算 $\Omega$ 的尺度。

8.1 为什么极大似然会变成 modularity

Poisson 质量函数取对数后，去掉只依赖观测 $A=(a_R)$ 的常数，标签和亲和函数只通过

$$ \mathcal Q_{\mathrm{DC}}(z,\Omega,\theta) =\sum_{R\in\mathcal R}\left[ a_R\log\Omega(z_R) -b_R\Pi(\theta_R)\Omega(z_R) \right], \qquad \Pi(\theta_R)=\prod_{i\in R}\theta_i \tag{2H.28a} $$

进入。第一项奖励模型赋予已出现超边较高亲和度，第二项扣除相应 Poisson 暴露量。按式 (2H.28) 规范化并代入条件估计 $\widehat\theta_i=d_i$ 后，若 $\Omega$ 只读取一条超边中的群组人数构成 $\mathbf p=\phi(z_R)$，就可以把同类项收集为

$$ \mathcal Q_{\mathrm{DC}}(z,\Omega,d) =\sum_{\mathbf p}\left[ \operatorname{cut}_{\mathbf p}(z)\log\Omega(\mathbf p) -\operatorname{vol}_{\mathbf p}(z)\Omega(\mathbf p) \right]. \tag{2H.28b} $$

这里 $\operatorname{cut}_{\mathbf p}$ 实际上是“标签组成等于 $\mathbf p$ 的观测超边权重”，而 $\operatorname{vol}_{\mathbf p}$ 是度校正零模型给出的期望暴露量。前者是 data，后者是 null expectation；modularity 的“观测减期望”结构正由此出现。

在 all-or-nothing（AON）子模型中，只区分一条 $r$ 元超边是否完全同组。令同组、跨组亲和度分别为 $\omega_{r1},\omega_{r0}$，并置

$$ \kappa_r=\log(\omega_{r1}/\omega_{r0}), \qquad \xi_r=(\omega_{r1}-\omega_{r0})/\kappa_r. $$

当 $\omega_{r1}=\omega_{r0}=\omega_r$ 时，以连续延拓定义 $\xi_r=\omega_r$；此时 $\kappa_r=0$，该阶不提供划分信号。目标可写成

$$ \mathcal Q_{\mathrm{DC}}(z,\Omega,d) =-\sum_{r=2}^{M_0}\kappa_r \left[ \operatorname{cut}_r(z) +\xi_r\sum_q\operatorname{vol}(q)^r \right]+J(\Omega), \tag{2H.28c} $$

其中 $\operatorname{cut}_r$ 只计跨组的观测 $r$ 元超边，$J(\Omega)$ 与标签无关。当 $\omega_{r1}>\omega_{r0}$ 时，最大化 $\mathcal Q_{\mathrm{DC}}$ 就是在体积惩罚下减少跨组超边。不同 $r$ 有各自的 $\kappa_r,\xi_r$，因此各阶超边分别定权。Chodrow et al. (2021) 先在无约束亲和函数下求闭式条件估计，再施加对称约束；群组体积不等时，相应更新是受限极大似然的近似。

9. 四条方法路线：输入、目标与信息

下表区分常见生成模型。Planted partition 是 HSBM 的受限子模型；latent-space 模型提供另一种生成机制。

在进入任何聚类算法前，还要先写下“社区”的工作定义：奖励同组超边条数、同组节点参与次数，还是某种按超边大小加权的凝聚度？在非均匀超图中，同样的内外超边条数可能因事件大小不同而支持相反判断。块模型选择用“条件交互概率相同”定义群组，其他模块度或谱目标未必采用同一口径（Matias, 2026, §5）。

还要按阶数检查信号。非均匀超图虽可写成共享节点集上的 $(H_r)_r$，却不表示每一层都支持同一分组。例如二元层若对所有标签组成概率相同，而三元层满足 $\alpha_3>\beta_3$，社区证据只来自三元层；让数量巨大的二元层无权主导联合投影，可能把有用信号稀释掉。报告联合结果时应给出各阶样本量、权重和单层诊断，而不只给最大秩与总度。

方法应按 原始观测 → 表示 → 目标函数 → 理论保证 的完整链条比较。为目标设计的投影可能已经保留充分信息，线性高阶算子也可能等价于加权图。

9.1 谱路线的最小管线

关联矩阵路线把离散 NH-Cut 问题松弛为

$$ \min_{X\in\mathbb R^{n\times Q}} \operatorname{tr}(X^TL_HX) \qquad\text{s.t.}\qquad X^TX=I_Q. $$

Rayleigh–Ritz 原理把这个问题化为特征向量计算。一个可直接实现的版本是：

1. 由 $B,W,D_v,D_e$ 构造式 (2H.16) 的 $L_H$；孤立节点应先分离处理，或明确采用何种正则化逆。
2. 计算 $L_H$ 的 $Q$ 个最小特征值对应的正交特征向量，组成 $X\in\mathbb R^{n\times Q}$。
3. 将每个非零行向量 $X_{i\cdot}$ 除以自身二范数，得到 $\bar X$。
4. 对 $\bar X$ 的 $n$ 个行向量运行带多次初始化的 $k$-means，输出 $\widehat z_i$。
5. 报告所用 Laplacian、$Q$ 的选择、特征间隙、$k$-means 初始化和置换不变错分率。

这里先求连续松弛，再由 $k$-means 完成离散近似。Ghoshdastidar and Dukkipati (2017a) 给出了这类谱划分在稀疏、非均匀植入分区模型下的一致性分析：总体嵌入形成 $Q$ 个群组中心，样本算子通过集中与特征子空间扰动靠近总体算子，最后由 $k$-means 转换为标签。第 4 章 4.4 节提供误差分析工具，下面按这条证明链展开。

9.2 似然路线的最小管线

以 simple HSBM 为例，观测似然中的 $\sum_Z$ 含有 $Q^n$ 个标签配置。VEM 用

$$ Q_\tau(Z)=\prod_{i=1}^n\prod_{q=1}^Q \tau_{iq}^{\mathbf1\{Z_i=q\}} $$

近似真实后验，并最大化

$$ \mathcal I(\theta,\tau) =\mathbb E_{Q_\tau}\!\left[\log P_\theta(Y,Z)\right] +\mathcal H(Q_\tau) =\log P_\theta(Y) -\operatorname{KL}\!\left(Q_\tau\,\|\,P_\theta(Z\mid Y)\right). $$

记 $\varphi(y,b)=y\log b+(1-y)\log(1-b)$。固定 $\theta$ 后，对 $\tau_{iq}$ 求一阶条件并加入 $\sum_q\tau_{iq}=1$ 的拉格朗日乘子，得到 VE 固定点

$$ \log\tau_{iq} =c_i+\log\pi_q +\sum_{r=2}^{M_0} \sum_{\substack{S\subseteq V\setminus\{i\}\\|S|=r-1}} \sum_{\mathbf q_S\in[Q]^{r-1}} \left(\prod_{j\in S}\tau_{j,q_j}\right) \varphi\!\left(Y_{\{i\}\cup S},\mathsf P^{(r)}_{q,\mathbf q_S}\right), \tag{2H.25b} $$

其中 $c_i$ 负责归一化。式中对 $S$ 的求和覆盖所有含 $i$ 的候选集合；若 $Y_{\{i\}\cup S}=0$，它仍通过 $\log(1-B)$ 进入更新。该固定点的一般存在性与唯一性尚无论文定理，多初值结果与停止条件因此需要随推断结果一同报告。

因此 $\mathcal I$ 是观测对数似然的下界。最小管线是：

1. 明确 Bernoulli simple HSBM 还是 Poisson DCHSBM，并建立全部候选位置的数据结构；在 Bernoulli 模型中，未出现的候选超边同样贡献似然。
2. 用随机软标签、谱聚类或其他预聚类初始化 $\tau_{iq}$，满足 $\sum_q\tau_{iq}=1$。
3. VE 步：固定 $\theta$，迭代 Brusa–Matias 的固定点方程，使每个 $\tau_{iq}$ 汇总所有包含节点 $i$ 的候选超边证据。
4. M 步：固定 $\tau$，更新 $\widehat\pi_q=n^{-1}\sum_i\tau_{iq}$；每个亲和参数更新为相应标签组合下由 $\prod_j\tau_{i_jq_j}$ 加权的“出现次数 / 候选次数”。
5. 重复 VE/M 步直到 ELBO、参数和 VE 固定点同时稳定，再令 $\widehat z_i=\arg\max_q\tau_{iq}$。
6. 对多个初值分别运行，保留 ELBO 较高的解；用 ICL 型准则或外部验证选择 $Q$ 与最大建模阶数 $M_0$。

M 步的“加权频率”可以精确写出。对按非降序排列的标签多重组 $\mathbf q$，令 $\mathfrak O(\mathbf q)$ 为其不同排列，并对 $e=\{i_1<\cdots<i_r\}$ 定义

$$ \omega_{e,\mathbf q}(\tau) =\sum_{\mathbf a\in\mathfrak O(\mathbf q)} \prod_{\ell=1}^r\tau_{i_\ell a_\ell}. $$

则

$$ \widehat\pi_q=\frac1n\sum_i\tau_{iq}, \qquad \widehat{\mathsf P}^{(r)}_{\mathbf q} =\frac{\sum_{e\in\binom Vr}\omega_{e,\mathbf q}(\tau)Y_e} {\sum_{e\in\binom Vr}\omega_{e,\mathbf q}(\tau)}. \tag{2H.25c} $$

把 $B$ 的 ELBO 部分对单个参数求导即可得到这个“软出现次数 / 软候选次数”比值，证明实验室给出闭合计算。完整模型的群组数比较可使用

$$ \operatorname{ICL}_{\mathrm{full}}(Q) =\log P_{\widehat\theta}(Y,\widehat Z) -\frac{Q-1}{2}\log n -\frac12\sum_{r=2}^{M_0} \binom{Q+r-1}{r}\log\binom nr. \tag{2H.25d} $$

第一项奖励拟合，后两项分别惩罚群组比例参数和各阶亲和参数。该准则是论文采用的模型选择工具；其一般一致性没有在 Brusa and Matias (2024) 中得到证明。

这条路线的参数与样本空间均可解释，第 $m$ 阶潜在候选位置数则达到 $\binom nm$，计算量随 $m$ 和 $Q$ 快速增长。VEM 单调改进 ELBO，通常收敛到局部固定点；weak 或 exact recovery 需要相应的一致性定理。Brusa and Matias (2024) 将该模型中变分估计量和极大似然估计量的一般一致性列为后续问题。

大规模实现还面临“未出现位置”远多于观测超边的问题。若允许所有大小，候选集合数为 $2^n-n-1$；最大阶数 $R$ 固定时也有最高阶 $\Theta(n^R)$ 个位置。规模因此有两个轴：节点/事件数量，以及单条事件大小/最大阶数。Matias (2026, §§4.3, 6) 介绍的 sample-to-population 思路保留全部已出现超边，只抽样一部分未出现候选集合来近似总体目标。Fritz, Yuan, and Schweinberger (2026, §§4–5) 给出相应的抽样估计、可识别性与估计界；这些结论适用于其潜在双曲空间模型，HSBM–VEM 使用独立的恢复分析。

9.3 低秩超图嵌入的最小管线

Zhen and Wang (2023) 的 hypergraph embedding model（HEM）不是先把超图变成普通图。若最大超边大小为 $m$，它加入一个空节点 $0$，把大小为 $\ell<m$ 的超边 $e$ 扩充为

$$ e^+=e\uplus\{\underbrace{0,\ldots,0}_{m-\ell}\}, $$

从而得到只允许空节点重复的 $m$-均匀多重超图。对扩充后的邻接张量 $\mathcal A$，令每个节点有嵌入 $\alpha_i\in\mathbb R^r$，并设

$$ \Theta=\mathcal I_r\times_1\alpha\times_2\cdots\times_m\alpha, \qquad p_{i_1\cdots i_m} =s_n\bigl(1+e^{-\theta_{i_1\cdots i_m}}\bigr)^{-1}. $$

社区结构通过惩罚项进入目标：

$$ \mathcal L_\lambda(\alpha;\mathcal A) =\mathcal L(\alpha;\mathcal A) +\frac{\lambda_n}{n} \min_{Z,C}\|\alpha-ZC\|_F^2. $$

一个最小实现按以下顺序运行：

1. 选定最大阶 $m$、嵌入维数 $r$、社区数 $Q$、稀疏因子 $s_n$ 和惩罚强度 $\lambda_n$。
2. 用 HOSVD 或其他谱方法产生 $\alpha^{(0)}$ 的暖启动；空节点嵌入固定，不参加普通社区分配。
3. 固定 $Z,C$，沿惩罚负对数似然的梯度更新真实节点的 $\alpha_i$。
4. 固定 $\alpha$，对真实节点的行向量运行 $k$-means，更新 $Z$ 与中心 $C$。
5. 交替迭代到目标函数稳定，输出 $\widehat\alpha$、$\widehat Z$ 和由 $\widehat\Theta$ 得到的超边概率。

该算法收敛到 stationary point；每次完整梯度更新还可能涉及 $O(n^mr)$ 量级的张量计算。理论一致性要求群组中心可分、网络具有足够稠密度，并且算法取得足够好的局部解，因此 HOSVD 暖启动是理论条件与实现之间的重要接口。

9.4 固定阶张量路线的最小管线

固定阶张量路线先把 $m$-均匀加权超图写成亲和张量 $\mathcal A$。作为一个可执行代表，tensor trace maximization（TTM）从最大化群组内部归一化亲和度出发，在谱松弛中构造

$$ C_{ij}=\sum_{i_3,\ldots,i_m=1}^n \mathcal A_{ij i_3\cdots i_m}, \qquad D_{ii}=\sum_jC_{ij}, \qquad S=D^{-1/2}CD^{-1/2}. $$

随后：

1. 计算 $S$ 的 $Q$ 个最大特征值对应特征向量，组成 $X$。
2. 对 $X$ 逐行归一化。
3. 对行向量运行 $k$-means，输出节点划分。

TTM 的输入和离散目标来自张量，其谱松弛把后 $m-2$ 个模式压入 $C$。HOSVD 通过展开张量提取主子空间，CP 分解或张量幂法直接寻找低秩分量；它们分别依赖秩、正交性、噪声和初始化条件。Ghoshdastidar and Dukkipati (2017b) 的恢复定理专门适用于稀疏加权均匀 planted-partition 模型下的 TTM：论文所谓的 weak consistency 即错分比例趋于零，按本章术语属于几乎精确恢复；部分稠密情形还可达到精确恢复。

一个两群组、三元 affiliation HSBM 能把收缩后的信号算到最后一项。令 $n=2s$、两组各 $s$ 个节点，同组候选三元组以概率 $\alpha$ 出现，混合三元组以概率 $\beta$ 出现。下面使用未归一化节点对计数；它与前述三阶张量收缩只差固定比例，因而具有相同的归一化谱嵌入：

$$ C_{ij}=\sum_{k\notin\{i,j\}}Y_{\{i,j,k\}}. \tag{2H.28f} $$

若 $i,j$ 同组，第三个节点有 $s-2$ 种保持全同组、$s$ 种跨组；若 $i,j$ 异组，余下 $2s-2$ 种选择全部跨组。因此

$$ \begin{aligned} \mu_{\mathrm{in}} &=\mathbb E[C_{ij}\mid z_i=z_j] =(s-2)\alpha+s\beta,\\ \mu_{\mathrm{out}} &=\mathbb E[C_{ij}\mid z_i\ne z_j] =(2s-2)\beta,\\ \mu_{\mathrm{in}}-\mu_{\mathrm{out}} &=(s-2)(\alpha-\beta). \end{aligned} \tag{2H.28g} $$

当 $\alpha=\beta$ 时总体块对比为零；$\alpha-\beta$ 增大时，总体收缩矩阵中的同组—异组间隔线性增大。有限样本恢复还需联合控制随机波动、归一化与聚类步骤。查看计数证明。

这条三元无权收缩与 Zhou 算子可以直接换算。令 $D_h=\operatorname{diag}(d_0(i))$、$C_{ii}=0$，并记 $D_C=\operatorname{diag}(C\mathbf1)$。因为 $BB^T=D_h+C$、$D_e=3I$ 且 $D_C=2D_h$，在非孤立节点上有

$$ D_h^{-1/2}BD_e^{-1}B^TD_h^{-1/2} =\frac13I+\frac23D_C^{-1/2}CD_C^{-1/2}. \tag{2H.28h} $$

所以二者具有相同特征向量。该等价成立于三元、无权且按式 (2H.28f) 收缩的情形。

图解 2H-H 使用 $n=60$、$\beta=0.02$、$\alpha-\beta\in\{0,0.005,\ldots,0.03\}$ 和每点 40 次重复。第 $j$ 个信号、重复 $t$ 的随机种子为 $20250800+100j+t$，左图种子为 $20250208$；生成脚本为 tools/generate_hypergraph_figures.py。式 (2H.28d)–(2H.28e) 是相关 Laplacian 管线的充分条件与误差界，不提供图中 $\alpha-\beta$ 的临界位置。

完整张量有 $n^m$ 个位置。直接从稀疏超边表累计 $C_{ij}$，或使用有理论依据的超边抽样，可以省去稠密 $n\times\cdots\times n$ 数组。

9.5 同一个五节点例子怎样进入四条路线

仍用 $e_1=\{1,2\}$、$e_2=\{1,2,3\}$、$e_3=\{3,4,5\}$。四种算法看到的“数据”并不相同：

这个对照说明，四条路线不是同一算法的四种写法。表示步骤已经决定了哪些事件、非事件和超边阶数能够进入后面的目标函数。

10. 恢复理论语言：四种保证的区别

对真实标签 $z\in[Q]^n$ 和估计 $\widehat z$，定义置换不变的错分率

$$ \operatorname{err}(\widehat z,z) =\min_{\sigma\in\mathfrak S_Q} \frac1n\sum_{i=1}^n \mathbf1\{\widehat z_i\ne\sigma(z_i)\}. \tag{2H.29} $$

对一列群组比例收敛到 $\pi$ 的模型，记 $\pi_{\max}=\max_q\pi_q$；恒猜最大群组的渐近准确率是 $\pi_{\max}$。本章据此采用下表的操作性定义。

术语在文献间略有差异：部分文献把 detection 用作“输出与真值正相关”，与 weak recovery 近似同义；另一些文献将其用于模型检验。上表采用本项目的统一口径；解释具体阈值时以原文定义为准。

还需区分三类问题：

• 信息论可能性：是否存在任意估计器达到目标；
• 计算可达性：是否存在多项式时间算法达到同一阈值；
• 特定算法保证：某个谱、似然、低秩嵌入或张量算法在什么条件下达到何种误差。

Chien, Lin, and Wang (2018) 研究 $d$-均匀 HSBM 的 minimax 错分率；Zhang and Tan (2023) 给出一般均匀 HSBM 的精确恢复阈值；Dumitriu and Wang (2026) 进一步处理一般非均匀 HSBM。Chernoff–Hellinger 型散度、局部 refinement 和信息论下界列入延伸阅读。

10.1 四条路线到底保证了什么

数值迭代停止、有限样本 ARI 和恢复定理对应三类不同结论：优化停止条件、经验表现，以及特定随机模型与参数序列上的概率保证。三者应分别报告。

11. 十二张定理与模型卡

12. 证明实验室

13. 小检查：先作答，再展开答案

1. 五人共同参加一次会议。把它投影成十条边后，还能否判断这十条边来自同一次会议？
2. 在五节点贯穿例子中，写出节点 3 对应的关联矩阵行，并计算其关联度。
3. 若 $d=3$ 且 $p_n=c/n^2$，$H_3(n,p_n)$ 中固定节点的期望关联度趋于多少？
4. 为什么 $L_H\succeq0$ 并不证明该方法保留了全部高阶信息？
5. HSBM 中 $\alpha_3>\beta_3$ 能否推出 $\alpha_2>\beta_2$？
6. 某算法错分 $\sqrt n$ 个节点。它达到哪一种恢复层级？还缺什么条件才能称为精确恢复？
7. 五节点例子中，$S=\{1,2\}$ 的边界体积与 NH-Cut 各是多少？
8. VEM 的 ELBO 已经停止上升，为什么仍不能声称社区已一致恢复？
9. 两群组三元 affiliation HSBM 中若 $\alpha=\beta$，配对计数 $C$ 还保留总体社区对比吗？
10. 贯穿例子的 $e_1,e_3$ 在 $L_1(H)$ 与 $L_2(H)$ 中的距离分别是多少？
11. 超图 $\boldsymbol\beta$-model 与 configuration 模型都控制节点活跃度，二者的约束方式有何不同？
12. 两个事件具有完全相同的参与者时，为什么“保留两个关联矩阵列”与“只保留简单超边集合”不是同一份数据？随机二部成员模型又预先固定了什么？

14. 易混点与术语表

本章采用以下英文原词：hyperedge（超边）、incidence matrix（关联矩阵）、incident degree / hyperdegree（节点关联度 / 超度）、edge size / cardinality（超边大小）、rank（秩）、uniform hypergraph（均匀超图）、star expansion（星形展开）、clique projection / 2-section（团投影 / 2-截面）、line graph / $k$-walk（线图 / $k$-游走）、affinity tensor/function（亲和张量 / 亲和函数）、misclassification rate（错分率）。

16. 来源与延伸阅读

本章用综合性综述核对术语和统计问题地图，用原始研究论文核对公式、模型和定理。正文的完整逐项表见§2H.7 来源与逐项定位；本笔记中证明卡、模型卡与方法管线的直接定位如下。

完整书目信息按本章功能排列，而非按年代排列。

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本项目的规划稿位于 references/hypergraph-foundations-chapter-plan.md，26 篇本地论文与 OCR 清单位于 references/papers/hypergraph-foundations/README.md。这些本地文件用于校核，不作为原书来源，也不随公开站点发布。

17. 学习检查表与后续衔接